Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kör és egyenes helyzete
Törölt
kérdése
223
a) feladat
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Epyxoid{ Tanár }
megoldása
Úú, jó kis koordináta geometria! Lássuk!
Tudjuk, hogy ott, ahol egy egyenes érint egy kört, arra merőlegesen metsszük a kör középpontját, vagyis ha összekötjük azt a két pontot, ahol érinti az egyenes a kört, akkor félúton ezen az egyenesen rajta lesz a kör középpontja és ez az egyenes pont merőleges arra az egyenesre, amivel érintjük a kört.
Amit tehetünk az az, hogy először megnézzük mekkora az egyenes meredeksége, abból kiszámoljuk az erre merőleges meredekséget és ebből a meredekségből és a kör középpontjából felírunk egy egyenes egyenletet és ahol ez az egyenes metszi a kört, az lesz az a két pont, ami az egyenessel párhuzamos két érintőt adja.
Az egyenesünk:
4x - 2y = 7
Fejezzük ki belőle y-t!
2y = 4x - 7
y = 2x - 7/2
Ebből adódik, hogy a meredekség m = 2 (illetve az is, hogy ez az egyenes y0 = -7/2-nél metszi az y tengelyt, bár ez most nem lényeges)
Ebből a meredekségből úgy képzünk egy erre merőleges meredekséget, hogy vesszük a mínuszát és a reciprokát:
m⦜ = -1/m = -1/2
Most lássuk a körünket:
x2 + y2 = 25
Tudjuk, hogy (x - u)2 + (y - v)2 = r2, ahol (u; v) a kör középpontja, és r a kör sugara. Jelen esetben:
(u; v) = (0; 0) és r = 5
Tehát az az egyenes, ami az eredeti egyenesre merőleges és áthalad a kör középpontján:
C(0; 0), m⦜ = -1/2 ⇒
y - 0 = -1/2∙(x - 0)
y = -1/2x
Ezek után két olyan pontot keresünk, ami egyszerre kielégíti a kör egyenletét (rajta van a körön) és kielégíti az imént megkapott egyenes egyenletét is (rajta van az egyenesen), azaz a két egyenletet összekapcsoljuk egy egyenletrendszerré és megoldjuk!
(I) x2 + y2 = 25
(II) y = -1/2x
Egyből be is helyettesíthetjük y-t (II) a kör egyenletébe (I):
x2 + (-1/2x)2 = 25
x2 + 1/4x2 = 25 5/4x2 = 25
x2 = 25∙4/5 = 20
x1,2 = ±√ 20 = ±2√ 5
Ezeket az értékeket visszahelyettesítve az egyenes egyenletébe (II) azt kapjuk, hogy:
y1,2 = ±√ 5
Tehát a két pont:
P1(2√ 5 ; -√ 5 ), P2(-2√ 5 ; √ 5 )
Módosítva: 1 éve
1
kazah:
Igen, a megoldás jó. Csak a kérdés volt az érintő, mondjuk a kérdés is kicsit félreérthetően van feltéve, mert érintési pont vagy érintő egyenlete a kérdés. Az érintő kifejezésre én egyenletet gondolok, azért írtam a lenti választ.
1 éve0
Epyxoid:
Teljesen jogos. Én valamiért érintők alatt a pontokra gondoltam, de végül is lehet teljesen igazad van.
1 éve0
kazah:
A kérdező elégedett és ez a lényeg
1 éve1
kazah
válasza
Tehát van egy körünk, aminek az egyenlete:
`x^2+y^2=25`
Továbbá olyan egyenest keresünk, amelynek a meredeksége 2 és egy közös pontjuk van.
`y=2x+b`
Az egyenes egyenletét behelyettesítjük a kör egyenletébe:
`x^2+(2x+b)^2=25`
`x^2+4x^2+4bx+b^2=25`
`5x^2+4bx+(b^2-25)=0`
Ha érintő, akkor egy közös pont van, vagyis a diszkrimináns nulla.
`(4b)^2-4*5*(b^2-25)=0` /:4
`4b^2-5b^2+125=0`
`b^2=125`
`b_1=root()(125)` = `5*root()(5)`
`b_2=-5*root()(5)`
A két egyenes egyenlete tehát:
`y=2x+5*root()(5)` és
`y=2x-5*root()(5)`
Ábra
1
Epyxoid:
Lehet az egyenesek egyenlete volt a kérdés? Nem rossz meglátás. Tetszik a paraméteres megoldásod. Ha az egyensek egyenlete a kérdés, akkor így határozottan gyorsabb és célrevezetőbb a dolog! Egyszer majd én is megtanulok ilyen egyenleteket írni...
1 éve0
kazah:
Igen, én kikerültem az érintési pont megkeresését megrövidítve ezzel a megoldás menetét, de szerintem ez neked is megy
1 éve0