Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Konvergens sorozat

67
Az {aˇn} sorozatra a1 = 2, aˇn+1 = 1/2 *(aˇn + 3/aˇn), ha n ≥ 1 . Konvergens-e az {aˇn} sorozat?
Ha konvergens, mennyi a határértéke?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Tehát a sorozatunk a1 = 2 és an+1 = 1/2∙(an + 3/an)

A szóban forgó sorozat egy neves sorozat, ami a sorozat képletének bizonyos értékeinek függvényében egy pozitív valós szám m-edik gyökéhez konvergál. Jelen sorozat  3 -hoz konvergál. Ezt levezetni aligha középiskolás szintű, úgyhogy nagy vonalakban végigmegyek azon pontosan mit is kéne ilyenkor csinálni.

Először venni kell két egymás után következő elemet és megmutatni, hogy az arányuk, vagyis an+1/an kisebb, mint 1, tehát a sorozat monoton csökkenő. Ezután rá kell mutatni arra, hogy mivel az első elem pozitív, így az egész sorozat minden eleme nagyobb, vagy egyenlő, mint 0, azaz alulról korlátos, tehát mivel monoton csökken és alulról korlátos a sorozat, így konvergens.

Mindezek után a határértékét úgy számolhatjuk ki a sorozatnak, hogy feltesszük n→∞ esetén an = A, vagyis limn→∞ an = A. Ekkor a következő egyenlőség áll elő a sorozat definíciójából adódóan:
A = 1/2∙(A + 3/A) // ∙2A
2A2 = A2 + 3
A2 = 3
A =  3 

Részletesebb levezetés itt található: 4.2. Monoton sorozatok / 4. példa, 46. oldal
https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2012/szili_beata.pdf
Módosítva: 2 hete
0