8.
A legegyszerűbb módja az, ha megnézzük ezeknek a pontoknak (vektoroknak) a különbségeit.
B-A = (2;4)
B-C = (3;1)
A-C = (1;-3)
Ezek a különbségek megadják azokat a vektorokat, amik a háromszög oldalai. Tehát olyan hosszúak ezek a vektorok, mint a háromszög 3 oldala és olyan irányúak, mint a háromszög oldalai.

Ezek után ha van olyan 2 vektor, amelyik közt 90° van, akkor ezeknek a koordinátái fel vannak cserélve és az egyik koordináta fordított előjelű! Ha megnézzük, akkor B-C és A-C pont ilyen, mivel mindkettő koordinátájában szerepel az 1 és a 3, és a 3 pont ellentétes előjellel. Ez pontosan azt jelenti, hogy a két vektor között 90° van, sőt, még egyenlő a hosszuk is, tehát ez egy egyenlő-szárú derékszögű háromszög!

Illetve itt is vehető ezen különbségvektoroknak a skaláris szorzatuk, ami ha 0, akkor az a két vektor merőleges egymásra:
(B-C)∙(A-C) = x1∙x2 + y1∙y2 = 3∙1 + 1∙(-3) = 3 - 3 = 0

9.
Két vektor akkor kollineáris ha van olyan szám, amivel az egyiket beszorozzuk, akkor a másikat kapjuk:
c∙a = b
Azaz,
b/a = c
b1 / a1 = b2 / a2 = c
k2 / 2 = 4 / k // ∙2k
k3 = 8 // 3√  
k = 2

10.
Ez a kérdés nem értelmezhető, mert nincs p a feladatban, de felteszem a k értékét keressük, nem p-jét.
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor a skaláris szorzatuk 0, ami a következőképpen adódik:
a∙b = a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3
Jelen esetben:
a∙b = 2∙3 + (-5)∙k + k2 = 0
k2 - 5k + 6 = 0
k1 = 2 | k2 = 3