Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Sorozatos összetett feladat (EGYETEMI)
noxter-norxert1704
kérdése
666
Sziasztok, van egy feladat!
Képet csatolok a feladatról, több részből áll.
Megoldottam a feladatot, de nincsen megoldókulcs hozzá. Azt szeretném kérni, hogy valaki meg tudná-e mondani nekem, hogy hibáztam-e valahol, avagy jó-e a megoldásom, és majd lesz 1-2 plusz kérdésem a végén!
Köszönöm
a)
(8/3) * 6^(n) + 25 * 5^(n) / 5 * 6^(n)
= (8/3) + 0 / 5
= 8/15
(2n+3/2n-1)^(n)
= (2+(3/n) / 2-(1/n))^(n)
= [1+((3/2)/n) / 1+((-1/2)/n) ]^(n)
= e^(3/2) / e^(-1/2)
= e^2
n. gyök 5 pedig végtelenbe tart, mivel minden gyökös kifejezés végtelenbe tart (az alapszabály szerint)
Ez alapján a határérték:
(8/15) - e^2 + végtelen --> végtelen (+)
(Igen, tudom, hogy alapból meg lehetett volna állapítani a gyökös tag alapján a határértéket, de a tanárok kiváncsiak a számolásunkra, hiszen ezekre járnak a részpontszámok. Ezért kell levezetnünk.)
b)
Monotonitás:
an = -3n/2n+1
an+1 = -3(n+1) / 2(n+1)+1
an+1 - an = -3(n+1) / 2(n+1)+1 + -3n/2n+1
(azért van + az an+1 és an között, mert an előtagja -, és ezért -- = + (gondolom).
= (-3n-3)(2n+1) + 3n(2n+3) / (2n+3)(2n+1)
= -6n^2 - 3n - 6n -3 +6n^2 + 6n / 4n^2 + 2n + 6n + 3
= -3n - 3 / 4n^2 + 8n + 3
ez pedig mindig <0, azaz a sorozat szigorúan monoton csökkenő.
Korlátosság:
szigorúan monoton csökkenő sorozatnak felső korlátja van, ami a sorozat első tagja.
a1 = -3*1/2*1+1
a1 = -3/3
a1 = -1
-1 a felső korlát.
Konvergencia:
Ha egy sorozat szigorúan monoton, és korlátos, akkor konvergens.
Tehát ez a sorozat is biztosan konvergens.
lim an= -3n/2n+1
lim an= -3/2
E=0,001 (1/1000),
küszöbszám mindig pozitív egész lehet.
|an - A| < E (ahol an az n. tagja a sorozatnak, A a határérték)
| -3n/2n+1 + 3/2 | < 1/1000
| -3n + 3(2n+1) / 2n+1+2(2n+1) | < 1/1000
| -3n+6n+3 / 2n+1+4n+2 < 1/1000
| 3n+3 / 6n+3 | < 1/1000
abszolútértéket elhagyjuk, hiszen a kifejezés mindenképpen pozitív
3n+3 / 6n+3 < 1/1000
3n+3 < 6n+3 / 1000
3n < 6n+3 / 1000 -3
n < 6n+3/3000 -1
n < n/500 + 1/1000 -1
499n/500 < -999/1000
499n < -499500/1000
n < -499500/499000
n < -1,001
ELLENTMONDÁS
küszöbszám nem lehet negatív.
Nem értem, hogy itt most mit rontottam el?
Vagy mi ez a negatív küszöbszám?
Segítség!
c)
Egy sorozat monoton, ha minden tagjára igaz, hogy:
an+1 - an >= 0 (monoton nő),
vagy
an+1-an<= 0 (monoton csökken).
Bármiféle észrevételt szivesen fogadok, melyik feladatrészeket csináltam jól?
Hol hibáztam?
Az a küszöbszámos rész miért lett negatív? Mert elméletileg nem lehetne az! Elrontottam ott valamit? Vagy jó az eredmény? Ha jó, akkor mi a válasz ilyenkor?
Előre is köszönöm a segítségeket, magyarázatokat!
Képet csatolok a feladatról, több részből áll.
Megoldottam a feladatot, de nincsen megoldókulcs hozzá. Azt szeretném kérni, hogy valaki meg tudná-e mondani nekem, hogy hibáztam-e valahol, avagy jó-e a megoldásom, és majd lesz 1-2 plusz kérdésem a végén!
Köszönöm
a)
(8/3) * 6^(n) + 25 * 5^(n) / 5 * 6^(n)
= (8/3) + 0 / 5
= 8/15
(2n+3/2n-1)^(n)
= (2+(3/n) / 2-(1/n))^(n)
= [1+((3/2)/n) / 1+((-1/2)/n) ]^(n)
= e^(3/2) / e^(-1/2)
= e^2
n. gyök 5 pedig végtelenbe tart, mivel minden gyökös kifejezés végtelenbe tart (az alapszabály szerint)
Ez alapján a határérték:
(8/15) - e^2 + végtelen --> végtelen (+)
(Igen, tudom, hogy alapból meg lehetett volna állapítani a gyökös tag alapján a határértéket, de a tanárok kiváncsiak a számolásunkra, hiszen ezekre járnak a részpontszámok. Ezért kell levezetnünk.)
b)
Monotonitás:
an = -3n/2n+1
an+1 = -3(n+1) / 2(n+1)+1
an+1 - an = -3(n+1) / 2(n+1)+1 + -3n/2n+1
(azért van + az an+1 és an között, mert an előtagja -, és ezért -- = + (gondolom).
= (-3n-3)(2n+1) + 3n(2n+3) / (2n+3)(2n+1)
= -6n^2 - 3n - 6n -3 +6n^2 + 6n / 4n^2 + 2n + 6n + 3
= -3n - 3 / 4n^2 + 8n + 3
ez pedig mindig <0, azaz a sorozat szigorúan monoton csökkenő.
Korlátosság:
szigorúan monoton csökkenő sorozatnak felső korlátja van, ami a sorozat első tagja.
a1 = -3*1/2*1+1
a1 = -3/3
a1 = -1
-1 a felső korlát.
Konvergencia:
Ha egy sorozat szigorúan monoton, és korlátos, akkor konvergens.
Tehát ez a sorozat is biztosan konvergens.
lim an= -3n/2n+1
lim an= -3/2
E=0,001 (1/1000),
küszöbszám mindig pozitív egész lehet.
|an - A| < E (ahol an az n. tagja a sorozatnak, A a határérték)
| -3n/2n+1 + 3/2 | < 1/1000
| -3n + 3(2n+1) / 2n+1+2(2n+1) | < 1/1000
| -3n+6n+3 / 2n+1+4n+2 < 1/1000
| 3n+3 / 6n+3 | < 1/1000
abszolútértéket elhagyjuk, hiszen a kifejezés mindenképpen pozitív
3n+3 / 6n+3 < 1/1000
3n+3 < 6n+3 / 1000
3n < 6n+3 / 1000 -3
n < 6n+3/3000 -1
n < n/500 + 1/1000 -1
499n/500 < -999/1000
499n < -499500/1000
n < -499500/499000
n < -1,001
ELLENTMONDÁS
küszöbszám nem lehet negatív.
Nem értem, hogy itt most mit rontottam el?
Vagy mi ez a negatív küszöbszám?
Segítség!
c)
Egy sorozat monoton, ha minden tagjára igaz, hogy:
an+1 - an >= 0 (monoton nő),
vagy
an+1-an<= 0 (monoton csökken).
Bármiféle észrevételt szivesen fogadok, melyik feladatrészeket csináltam jól?
Hol hibáztam?
Az a küszöbszámos rész miért lett negatív? Mert elméletileg nem lehetne az! Elrontottam ott valamit? Vagy jó az eredmény? Ha jó, akkor mi a válasz ilyenkor?
Előre is köszönöm a segítségeket, magyarázatokat!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
analízis, sorozat, határérték, elemzés, küszöbszám
analízis, sorozat, határérték, elemzés, küszöbszám
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
4
bongolo
{ 
}
válasza
a)
Az eleje jó, de `lim_(n→∞)root(n)(5)` nem végtelen, hanem 1.
Ugyanis az n-edik gyök ugyanaz, mint 1/n-edik hatvány, ami tart a 0-adik hatványhoz, ami 1.
Az eleje jó, de `lim_(n→∞)root(n)(5)` nem végtelen, hanem 1.
Ugyanis az n-edik gyök ugyanaz, mint 1/n-edik hatvány, ami tart a 0-adik hatványhoz, ami 1.
Módosítva: 7 éve
1
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
b)
`a_(n+1)-a_n = (-3(n+1))/(2(n+1)+1)-(-3n)/(2n+1)`
szóval természetesen `-` kellett a kettő közé, nem pedig `+`, ahogy te írtad. Az más kérdés, hogy majd a `-(-3n)`-ből `+3n` lesz.
Szerencsére utána elrontottad, és jó lett az előjel.
Aztán megint rontottál egyet: `3n(2n+3) = 6n^2+9n`, nem pedig `6n^2+6n` .
De a vége ilyenkor is az, hogy negatív, tehát szig.mon.csökkenő.
Viszont a korlátosságnál az, hogy van felső korlát, az teljesen `bb"érdektelen"`. A felső korlát létezése plusz csökkenő sorozatból nem következik ugyanis az, hogy konvergens, hisz nyugodtan elmehet a mínusz végtelenbe. Csak az alsó korlát esetén lesz konvergens. Tehát alsó korlátot kellene találj!
Mondjuk a -2 lehet alsó korlát, hiszen:
`-(3n)/(2n+1) " >?" -2 \ \ \ \ \ \ // ·(2n+1) > 0`
`-3n " >?" -2(2n+1)`
`-3n " >?" -4n-2`
`n > -2`
ami tényleg mindig teljesül.
`a_(n+1)-a_n = (-3(n+1))/(2(n+1)+1)-(-3n)/(2n+1)`
szóval természetesen `-` kellett a kettő közé, nem pedig `+`, ahogy te írtad. Az más kérdés, hogy majd a `-(-3n)`-ből `+3n` lesz.
Szerencsére utána elrontottad, és jó lett az előjel.
Aztán megint rontottál egyet: `3n(2n+3) = 6n^2+9n`, nem pedig `6n^2+6n` .
De a vége ilyenkor is az, hogy negatív, tehát szig.mon.csökkenő.
Viszont a korlátosságnál az, hogy van felső korlát, az teljesen `bb"érdektelen"`. A felső korlát létezése plusz csökkenő sorozatból nem következik ugyanis az, hogy konvergens, hisz nyugodtan elmehet a mínusz végtelenbe. Csak az alsó korlát esetén lesz konvergens. Tehát alsó korlátot kellene találj!
Mondjuk a -2 lehet alsó korlát, hiszen:
`-(3n)/(2n+1) " >?" -2 \ \ \ \ \ \ // ·(2n+1) > 0`
`-3n " >?" -2(2n+1)`
`-3n " >?" -4n-2`
`n > -2`
ami tényleg mindig teljesül.
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
megoldása
b) küszöbszám.
Itt a tört plusz tört összeadással volt problémád:
`|(-3n)/(2n+1) - (-3)/2| < 1/(1000)`
`|(-3n)/(2n+1) - (-3/2(2n+1))/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(-3n + 3/2(2n+1))/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(-3n + 3n+3/2)/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(3)/(4n+2)| < 1/(1000)`
`n>0`, ezért:
`(3)/(4n+2) < 1/(1000)`
`3000 < 4n+2`
`(2998)/(4) < n`
`n > 749.5`
`n > 749`
Itt a tört plusz tört összeadással volt problémád:
`|(-3n)/(2n+1) - (-3)/2| < 1/(1000)`
`|(-3n)/(2n+1) - (-3/2(2n+1))/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(-3n + 3/2(2n+1))/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(-3n + 3n+3/2)/(2n+1)| < 1/(1000)`
`|(3)/(4n+2)| < 1/(1000)`
`n>0`, ezért:
`(3)/(4n+2) < 1/(1000)`
`3000 < 4n+2`
`(2998)/(4) < n`
`n > 749.5`
`n > 749`
1
- Még nem érkezett komment!