Háromszög csúcspontja

a,

A C csúcsból induló súlyvonal: A C csúcsot az AB oldal felezőpontjával összekötő szakasz.

Az AB oldal felezőpontja:

`x_D` = `(x_A+x_B)/2` = `((-2)+2)/2` = 0

`y_D` = `(y_A+y_B)/2` = `((-2)+2)/2` = 0

D(0;0)

C(-2;4)

Mivel az origón halad át ez az egyenes, így `b_1` = 0

`m_1` = `(y_D-y_C)/(x_D-x_C)` = `4/(-2)` = -2

A magasságvonal egyenlete:

`color(red)(y =-2x)` (y+2x=0)

Az A csúcsból induló magasságvonal merőleges a BC oldalra.

`m_(BC)` = `(y_C-y_B)/(x_C-x_B)` = `(4-2)/(-2-2)` = `2/(-4)` = `-1/2`

`m_(m_A)` = `-1/m_(BC)` = `-1/(-1/2)` = 2

A(-2;-2)

`-2=2*-2+b_(m_A)`

`b_(m_A)` = 2

A keresett magasságvonal egyenlete:

`color(red)(y=2x+2)`

A két egyenes metszéspontja:

2x+2=-2x

4x=-2

x = `-2/4` = `-1/2`

y = `-2x` = `-2*(-1/2)` = 1

A metszéspont tehát: `D(-1/2;1)`

b,

Az egyik súlyvonalat már megkerestük (y+2x=0). Keressünk egy másikat is; a két súlyvonal metszéspontja adja a súlypontot.

A BC oldal felezőpontja:

`x_E` = `(x_B+x_C)/2` = `(2+(-2))/2` = 0

`y_E` = `(y_B+y_C)/2` = `(2+4)/2` = 3

E(0;3)

A(-2;-2)

`b_(s_A)` = 3

`-2=(-2)*m+3`

m = `5/2`

A másik súlyvonal egyenlete:

`color(red)(y=5/2*x+3)`

`-2x=5/2*x+3`

`9/2*x=-3`

x = `-2/3`

`y=-2x` = `(-2)*(-2/3)` = `4/3`

A háromszög súlypontja: `S(-2/3;4/3)`

c,

A háromszög kerületéhez szükséges az oldalak hossza.

`d_(AB)` = `root()((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)` = `root()((2-(-2))^2+(2-(-2))^2)` = `root()(32)` = `4*root()(2)`

`d_(BC)` = `root()((x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2)` = `root()((-2-2)^2+(4-2)^2)` = `root()(20)` = `2*root()(5)`

`d_(AC)` = `root()((x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2)` = `root()((-2-(-2))^2+(4-(-2))^2)` = `root()(6^2)` = 6

K = `(AB)+(AC)+(BC)` = `4*root()(2)+2*root()(5)+6` `approx` 16,13

Nagyon köszönöm.