A(-7;3), B(4;5), C(3;-7)

`color(purple)(bb"1. Az oldalegyenesek egyenlete:")`

- `bb"AB egyenlete:"`

`m_(AB)` = `(y_B-y_A)/(x_B-x_A)` = `(5-3)/(4-(-7))` = `2/11`

`y_A=m_(AB)*x_A+b_(AB)`

`b_(AB)=y_A-m_(AB)*x_A` = `3-2/11*(-7)` = `47/11`

`y=2/11*x+19/11` vagy `color(red)(11y-2x-47=0)`

- `bb"BC egyenlete:"`

`m_(BC)` = `(y_C-y_B)/(x_C-x_B)` = `(-7-5)/(3-4)` = 12

`y_B=m_(BC)*x_B+b_(BC)`

`b_(BC)=y_B-m_(BC)*x_B` = `5-12*4` = `-43`

`y=12*x-43` vagy `color(red)(y-12x+43=0)`

- `bb"AC egyenlete:"`

`m_(AC)` = `(y_C-y_A)/(x_C-x_A)` = `(-7-3)/(3-(-7))` = `-1`

`y_A=m_(AC)*x_A+b_(AC)`

`b_(AC)=y_A-m_(AC)*x_A` = `3-(-1)*(-7)` = `-4`

`y=-x-4` vagy `color(red)(y+x+4=0)`

`color(purple)(bb"2. Oldalfelező pontok:")`

- `bb"AB oldal felezőpontja:"`

`x_D` = `(x_A+x_B)/2` = `((-7)+4)/2` = -1,5

`y_D` = `(y_A+y_B)/2` = `(3+5)/2` = 4

`color(red)(D(-1,5;4))`

- `bb"AC oldal felezőpontja:"`

`x_E` = `(x_A+x_C)/2` = `((-7)+3)/2` = -2

`y_E` = `(y_A+y_C)/2` = `(3+(-7))/2` = -2

`color(red)(E(-2;-2))`

- `bb"BC oldal felezőpontja:"`

`x_E` = `(x_B+x_C)/2` = `(4+3)/2` = 3,5

`y_E` = `(y_B+y_C)/2` = `(5+(-7))/2` = -1

`color(red)(E(-3,5;-1))`


`color(purple)(bb"3. Súlyvonalak egyenlete:")`

A háromszög súlyvonala az oldal felezőpontját a szemközti csúccsal összekötő szakasz (itt most egyenes, illetve annak az egyenlete).

`s_A`:

`m_(s_A)` = `(y_F-y_A)/(x_F-x_A)` = `(-1-3)/(3.5-(-7))` = `-4/10.5` = `-8/21`

`b_(s_A)` = `y_A-m_(s_A)*x_A` = `3-(-8/21*(-7))` = `3-8/3` = `1/3`

`y=-8/21*x+1/3` vagy `color(red)(21y+8x-7=0)`

`s_B`:

`m_(s_B)` = `(y_E-y_B)/(x_E-x_B)` = `(-2-5)/(-2-4)` = `-7/(-6)` = `7/6`

`b_(s_B)` = `y_B-m_(s_B)*x_B` = `5-(7/6*4)` = `5-14/3` = `-1/3`

`y=7/6*x+1/3` vagy `color(red)(6y-7x-2=0)`

`s_C`:

`m_(s_C)` = `(y_D-y_C)/(x_D-x_C)` = `(4-(-7))/(-1.5-3)` = `11/(-4.5)` = `-22/9`

`b_(s_C)` = `y_C-m_(s_C)*x_C` = `-7-(-22/9*3)` = `-7+22/3` = `1/3`

`y=-22/9*x+1/3` vagy `color(red)(9y+22x-3=0)`

`color(purple)(bb"4. Súlypont:")`

Bármelyik két súlyvonalat választjuk ki:

I. `y=-22/9*x+1/3`

II. `y=7/6*x+1/3`

Elég jól választottunk, mindkét egyenletnek ugyanott van a tengelymetszete:

`color(red)(S(0;1/3))`.

(2. Ábra)

`color(purple)(bb"5. Oldalak hossza:")`

`d_(AB)` = `root()((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)` = `root()((-7-4)^2+(3-5)^2)` = `root()(125)` = `5*root()(5)`

`d_(BC)` = `root()((x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2)` = `root()((4-3)^2+(5-(-7)^2)` = `root()(145)`

`d_(AC)` = `root()((x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2)` = `root()((-7-3)^2+(3-(7))^2)` = `root()(200)` = `10*root()(2)`

`color(purple)(bb"6. A háromszög belső szögei:")`

Ha már ismerjük az oldalak hosszát, akkor akár koszinusztétellel is számolhatunk; ha nem, akkor maradunk a koordinátageometriánál, a meredekségekkel is egyszerűnek tűnik (1. pont; 1. ábrán a szögek jelölve).

`cosalpha=((AC)^2+(AB)^2-(BC)^2)/(2*(AB)*(AC))` = `(200+125-145)/(2*root()(125*200))` = 0,57

`alpha` = 55,3°

`cosbeta=((BC)^2+(AB)^2-(AC)^2)/(2*(BC)*(AB))` = `(145+125-200)/(2*root()(145*125))` = 0,26

`beta` = 74,9°

`cosgamma` = `((AC)^2+(BC)^2-(AB)^2)/(2*(AC)*(BC))` = `(200+145-125)/(2*root()(145*200))` = 0,646

`gamma` = 49,8°

`m_(AB)` = `2/11`= `tan delta_(AB)` `rightarrow` `delta_(AB)` = 10,3°

`m_(BC)` = `12` = `tan delta_(BC)` `rightarrow` `delta_(BC)` = 85,24°

`m_(AC)` = -1 = `tan delta_(AC)` `rightarrow` `delta_(AC)` = -45°

`alpha` = `|delta_(AB)-delta_(AC)|` = 10,3-(-45) = 55,3°.

`beta` = `|delta_(AB)-delta_(BC)|` = |10,3-85,4| = 74,9°.

`gamma` = `180-(alpha+beta)` = `180-(55.3+74.9)` = 49,8°.


`color(purple)(bb"7. A háromszög területe:")`

Már annyi adatot ismerünk, hogy azt se tudjuk, melyik megoldást válasszuk, olyan sok a lehetőség.

Legyen szinuszos, az még nem volt:

T = `((AB)*(AC)*sinalpha)/2` = `(root()(125*200)*sin55.3)/2` = 65


`color(purple)(bb"8. A beírt kör sugara:")`

A legegyszerűbb a Héron-képlet lesz:

r = `(2*T)/(a+b+c)` = `(2*65)/(root()(125)+root()(145)+root()(200))` `approx` 3,48

`color(purple)(bb"9. Magasságvonalak egyenlete:")`

A magasságvonal merőleges az oldalakra (tehát a meredekségüket egyszerűen számolhatjuk) és ismerjük egy pontját (a szemközti csúcsot).

`m_(AB)` = `2/11` `rightarrow` `m_(m_C)` = `-1/(2/11)` = `-11/2` (A C csúcshoz tartozó magasság meredeksége, csak a sok m miatt).

C(3;-7)

`-7=3*(-11/2)+b_(m_C)`

`b_(m_C)` = `-7+33/2` = `19/2` = 9,5

`m_C`: `y=-11/2*x+19/2` vagy `color(red)(2y+11x-19=0)`


`m_(BC)` = 12 `rightarrow` `m_(m_A)` = `-1/12`

A(-7;3)

`3=(-7)*(-1/12)+b_(m_A)`

`b_(m_A)` = `3-7/12` = `29/12`

`m_A`: `y=-1/12*x+29/12` vagy `color(red)(12y+x-29=0)`


`m_(AC)` = -1 `rightarrow` `m_(m_B)` = 1

B(4;5)

`5=1*4+b_(m_B)`

`b_(m_B)` = `5-4` = 1

`m_B`: `y=x+1` vagy `color(red)(y-x-1=0)`


Szorgalmi:

`color(purple)(bb"1.Oldalfelező merőlegesek egyenlete:")`

Az oldalfelezők meredeksége ugyanannyi, mint a magasságoké, viszont nem a csúcsokon haladnak át, hanem az oldalfelező pontokon.

`m_(m_A)` = `-1/12`

F(3,5;-1)

`-1=7/2*(-1/12)+b_(OA)`

`b_(OA) = -1+7/24=-17/24`

`y=-1/12*x-17/24` vagy `color(red)(24y+2x-17=0)`


`m_(m_B)` = 1

E(-2;-2)

`-2=(-2)*1+b_(OB)`

`b_(OB)=0`

`color(red)(y-x=0)`


`m_(m_C)` = `-11/2`

D(-1,5;4)

`4=(-1.5)*(-11/2)+b_(OC)`

`b_(OC)=4-33/4` = `-17/4`

`y=-11/2*x-17/4` vagy `color(red)(4y+22x+17=0)`


`color(purple)(bb"2. Körülírt körvonal középpontja:")`

Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja.

y=x

`y=-11/2*x-17/4`

`x=-11/2*x-17/4`

`x=(17/4)/(13/2)` = `(-17*2)/(13*4)` = `-17/26`

`color(red)(O(-17/26;-17/26)`

`color(purple)(bb"3. Körülírt kör sugara:")`

Az O pont távolsága bármelyik csúcstól.

`r=d_(BO)=root()((4-(-17/26))^2+(5-(-17/26))^2)` = `root()((121/26)^2+(147/26)^2)` = `1/26*root()(121^2+147^2)` = `root()(36250)/26` `approx` 7,32

A körülírt kör egyenlete tehát:

`(x+17/26)^2+(y+17/26)^2=36250/676`