Tanultál már olyat, hogy "teljes indukció"?
A csatolt képen ezt alkalmaztam - érthető így?

Elemi átalakításokkal könyen belátható, nem kell teljes indukció hozzá:

2. Kiemelünk 4ⁿ-nt: 4ⁿ*(3+1)=4ⁿ*4, ez a hatványozás definíciója szerint 4n+1-nek felel meg. Mivel 4=2*2, ezért (2*2)n+1 alakba írható át az előbbi kifejezés. Azt is tudjuk, hogy a hatványozás tényezőnként elvégezhető, tehát 2n+1*2n+1 alakba írható át. Sikerült az eredetit felírni egy olyan kéttényezős szorzatba, hogy a tényezők egyenlőek egymással, tehát az eredeti tényleg négyzetszám, és a szám gyöke 2n+1. Ráadásul ez nem csak a természetes számokra lesz így, hanem tetszőleges egész számra is igaz, ezért sem jó feltétlenül a teljes indukciós bizonyítás.

1. Első körben alakítsuk át a 3-hatványt úgy, hogy csak n legyen a kitevőben:

32n+1 = 32n*3 = (3²)ⁿ*3 = 3*9ⁿ, tehát az összeg második tagja 4ⁿ*3*9ⁿ=3*4ⁿ*9ⁿ. Az előbb volt róla szó, hogy a hatványozást tényezőnként el lehet végezni, képlettel: (a*b)ⁿ=aⁿ*bⁿ, szerencsére ez visszafelé is működik; ha a képletben a=4 és b=9, akkor (4*9)ⁿ=4ⁿ*9ⁿ, a jobb oldali van meg nekünk, ami így átírható a bal oldalon álló alakra, vagyis (4*9)ⁿ=36ⁿ-re. Itt tartunk:

36ⁿ + 3*36ⁿ, innen pedig a befejezés gyakorlatilag ugyanúgy megy, mint az 1. feladatnál; kiemelünk 36ⁿ-ent: 36ⁿ*(1+3)=36ⁿ*4, 36ⁿ=(6*6)ⁿ=6ⁿ*6ⁿ, tehát 6ⁿ*6ⁿ*4 lesz. 4=2*2, tehát 6ⁿ*6ⁿ*2*2 alakra jutunk, innen már csak annyi a dolgunk, hogy felcseréljük a tényezőket: 2*6ⁿ*2*6ⁿ, végül megfelelően zárójelezünk: (2*6ⁿ)*(2*6ⁿ), ez azt jelenti, hogy a fenti kifejezés gyöke 2*6ⁿ, ami tetszőleges n-re egy racionális szám.

Persze az is igaz, hogy "általában" teljes indukcióval kell az ilyeneket bizonyítani, mivel az ilyenfajta variálás nem mindenhol megoldható, de itt meg lehetett anélkül is oldani.