1)
Ha sorba kell rendezni n különböző dolgot, akkor n! a lehetőségek száma.
Tehát 10!

Egyszerűen jegyezd meg ezt: n dolgot n! módon lehet sorbarendezni.
Ha bele akarsz gondolni: Első helyen állhat n, most 10. Második már csak 9 közül valamelyik lehet, mert a tizedik már az első lett. A harmadik meg már csak 8-féle lehet, a negyedik 7-féle, stb. Összesen 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 ami 10!

2.a)
Itt is az a kérdés valójában (csak nem így van megfogalmazva), hogy az 5 gyerek hányféleképpen állhat sorba. A válasz 5!.

2.b)
Itt kell egy trükk: K és S legyen logikailag összeragasztva, tehát csak 4 dolgot kell sorbarakni: J, KS, M és P. Ennek 4! lenne a megoldása. Viszont K és S-t kétféleképpen lehet összeragasztani: Van K van elől, vagy S. Ezért 2·4! a válasz.

3)
Ez is ugyanaz, sorba kell őket rakni. Le se írom, találd ki.

4)
Ez is sorbarendezés. Van összesen 12 dolog, amiket egymás után kell rakni.
Fontos kérdés, hogy vannak-e benne azonos dolgok. Szerintem nincsenek, hiába van mondjuk 4 szakácskönyv, nem hiszem, hogy mind ugyanaz a könyv lenne.

Ha mondjuk ugyanaz a szakácskönyv lenne meg 4-szer, akkor máshogy kellene számolni, mert akkor az már nem számít más elrendezésnek, hogy egymás között sorrendet cserélnek. Ezért akkor a 12 faktoriálist osztani kellene a 4 szakácsköny különböző sorrendjeivel, ami 4!.
Ha meg mondjuk a novellák is egyformák, akkor 3!-sal is oztani kell, stb. Ha minden kategóriában azonos könyvei vannak, akkor `(12!)/(4!·3!·5!)` lehetséges sorrend lenne csak, de szerintem itt nem ez a helyzet. Különbözik mind a 12 könyv, ezért 12! a válasz.

5)
Mondjuk képzeljük úgy, hogy Lon sorba állítja a 4 unokatesóját, aztán kiosztja nekik a kutyákat F,L,R,S sorrendben. Ahányféleképpen sorba tudja állítani az unokatesót, annyiféle kiosztás lehet. Ez tehát 4!

Lehet úgy is képzelni, hogy az unokatesók sorrendjén nem változtat (mondjk kor szerint jönnek), hanem a kutyák sorrendjét változtathatja. Ebből is 4! lesz.

Annak nincs értelme, hogy mindkét sorrendet perturbálja...

6)
Ez könnyű, ugyanaz, mint az előzőek.

7.a)
Ez már ravaszabb.
D nem lehet az utolsó.
Ezt bonyolultabb kiszámolni, ilyen esetekben sokszor érdemes fordítva számolni: Hányféleképpen lehet az, hogy D az utolsó? D-t odarakjuk negyediknek, a másik 3 csapat meg versenyez. Nekik egyszerű a megoldásuk: 3!
De nem ez volt a kérdés, hanem a fordítottja. Vagyis ezt a 3!-t ki kellene vonni abból, hogy hányféle sorrend lehet, ha nincs semmilyen megkötés. Az pedig 4!.
Tehát a valódi válasz: 4! - 3!

Mindez azzal a feltételezéssel ment, hogy nincs holtverseny. A b) kérdésnél viszont van, szóval arra is fel kell készülni. Mi van, ha az a)-nál is lehet holtverseny?
Hmm, az sokkal nehezebb probléma, hagyjuk.

7.b)
Az első helyen van holtverseny. Van egy harmadik meg van egy negyedik, aki nem a D.
- Az utolsó lehet 3-féle, mert a D nem lehet az.
- Az utolsó előtti is 3-féle lehet, mert ott már lehet D is, de nincs ott az, aki a negyedik lett.
- Az első kettő pedig holtversenyben az a kettő, akik megmaradtak a 4-ből. Ez tehát csak egyféleképpen lehet, mert nincs több csapat.

Ez összesen így 3·3 lehetőség.

8.
Ennek a vége nem látszik jól, de ha nincs már ott semmi fontos. akkor sima eset. Az nem számít, hogy melyik milyen nemű, csak az, hogy 5-en vannak és különbözőek. Állítsd sorba őket, úgy kapják a leveleket. Nem írom le a választ.

11.
A legnagyobb mangó odakerül a legkisebb fiúhoz, azzal nincs mit kezdeni. A maradék 7 mangó és 7 fiú a kérdés.
Azért írja a feladat, hogy különböző méretűek a mangók, hogy egyértelmű legyen, hogy fontos a sorrend, hogy ki melyik mangót kapja.
Mondjuk a fiúk sorrendjén ne változtatgass, legyenek kor szerint sorban. A mangók sorrendjén változtatgass csak. Rendezd sorba valahogy a mangókat, és ahogy véletlenül kijött a sorrend, úgy oszd ki a gyerekek között. Annyiféle lehet, ahányféleképpen sorba tudod rendezni a mangókat. Ez pedig 7! ugye.

12.
Ez már nem egszerű sorberendezés lesz!

3 betű van és 3-betűs szót kell csinálni úgy, hogy lehet ugyanaz a betű több helyen is. Tehát mondjuk az is jó szó, hogy aaa.
Az első helyen állhat 3, a másodikon is 3, és a harmadikon is. Tehát 3·3·3 = 3³

13.
a) Bárki ülhet bárhol.
Van 8 ember, körben ülnek le.
Ha egyenes sorban ülnének, 8! lenne. De körben ülnek.
abcdefgh ugyanaz, mint bcdefgha, vagy cdefghab, stb. Ha ezeket bármelyiket egy körbe fűzzük a két végüknél, ugyanaz a karika jön ki. 8-féle iyen kezdőpont lehet, amik mind ugyanazt a kört adják, vagyis 8-cal osztani kell az egy sorba álló eredményt: `(8!)/8` ami egyébként `7!`.

b) Felváltva nők és férfiak (nem feltétlenül házaspárok ülnek egymás mellett).
Válasszuk külön őket. Rakjuk egy körbe mondjuk a 4 nőt, ez az előzőek szerint `(4!)/4 = 3!` sorrendben lehet. Egy másik körbe a férfiakat, az is ugyanennyi. Végül fésüljük egybe a két karikát: Az egyik kiválastott nő mögé a 4 férfi bármelyike kerülhet, a többiek már ülnek oda, ami kijön sorban. Tehát az összes lehetőségek száma:
4·3!·3!

14.
Nem értek a baseball-hoz, de valószínű sima sorbarendezés ez is. Akkor tudod a választ, ugye.

15.
Ez is sorbarendezés, de a 3 A betű egyforma, meg a 2 T betű is.
Van tehát 10 etű. Ha nem lennének egyformák benne, akkor 10! lenne a megoldás. De ezt osztani kell azzal, ahányféleképpen az egyformák egymás között rendeződhetnek, vagyis 3! az A betűknél, 2! a T betűknél. Tehát a válasz:
`(10!)/(3!·2!)`

16.
Ez is hasonlóan megy:
9 betűnk van, ha nem lennének egyformák közte, akkor 9! lenne a válasz.
Van viszont 3 egyes, 4 hármas és 2 ötös. Ezek permutációival osztani kell:
`(9!)/(3!·4!·2!)`

17.
18.
19.
Ezek már voltak korábban!!!

20.
5 dologról van szó.

a)
5!

b)
össze kell kötni a kutyát a fiúval, akkor már csak 4 dolog lesz.
Ez 4!
Itt csak egyféle sorrendben lehet összekötni őket (a kutya követi a fiút), nem kell 2-vel szorozni.

c)
Megint fordítva érdemes gondolkodni: Az összes lehetőségből vonjuk ki a rosszakat.
Összes: 5!
Rosszak:
- első a kutya: a többi 4 sorrendje 4! lehet
- utolsó a kutya: a többi 4 sorrendje 4! lehet
Vagyis a kivonás eredménye:
`5!-2·4!`

21.
22.
Próbáld meg megoldani őket, hasonlóak, mint az eddigiek.

23. EZ ÚJ!

A 27-ből ki kell választani azt a 4-et, akik kenuzni fognak.
A kérdés az, hogy hányféle csoport lehet. Tehát csak a csoport számít, az már mindegy, hogy ki hol ül a kenuban.
Ha 27-ből ki kell választani 4-et, amikor is a sorrend nem számít, csak az, hogy kiket választunk ki, akkor az a choose függvénnyel megy: `((27),(4))`. Ezt magyarul úgy mondjuk, hogy 27 alatt a 4, angolul sokkal egyszerűbb: 27 choose 4.

24.
Ez is hasonlóan megy: 9-ből kell 6-ot kiválasztani, ez `((9),(6))`

25.
Ez is ugyanaz. A captain-ek sorrendje egymás között már nem számít, csak az, hogy 14-ből választunk 3-at. Le se írom.

26.
27.
28.
Ez is choose.

29.
Mivel 2 mindenféleképpen benne van a kiválaszottak között, már csak 3-at kell választani a maradék 7-ből. Tehát `((7),(3))`

30.
Ez is hasonló, mint a 29., próbáld meg.

31.
A fiúkból ki lehet választani `((5),(4))`-féle csoportot, a lányokból `((6),(3))`-at, összesen `((5),(4))·((6),(3))`-at

32.
9 férfi, 6 nő.
Ki kell választani 5 férfit és 3 nőt.
`((9),(5))·((6),(3))`

Köszönöm szépen!