Tangens addíciós tétellel megoldható feladatok

A tangens addíciós tétel ez:
`"tg"(x+y) = ("tg"\ x + "tg"\ y)/(1-"tg"\ x·"tg"\ y)`

3159. a)
Nézzük először a tg(45°+x/2)-t, ne a négyzetét:
`"tg"(45°+x/2) = ("tg"\ 45° + "tg"\ x/2)/(1-"tg"\ 45°·"tg"\ x/2)`
Tudjuk, hogy `"tg"\ 45° = 1` és `"tg"\ α = sin α/cos α`:
`= (1 + "tg"\ x/2)/(1-"tg"\ x/2) = (1 + sin (x/2)/cos (x/2))/(1-sin (x/2)/cos (x/2))`
Szorozzuk be a számlálót és a nevezőt is cos x/2-vel:
`= (cos (x/2) + sin (x/2))/(cos (x/2)-sin (x/2))`
Nagyon csábító, hogy a nevezőben a-b van, a számlálóban meg a+b. Ha beszorzunk a+b-vel, akkor a nevező a²-b² lesz, ebből még kijöhet valami jó. Úgyhogy szorozzuk be a nevezőt is meg a számlálót is cos(x/2)+sin(x/2)-vel, hátha érdemes:
`=((cos (x/2) + sin (x/2))^2)/(cos^2 (x/2)-sin^2 (x/2))=(cos^2 (x/2) + 2·cos(x/2)·sin(x/2) + sin^2 (x/2))/(cos^2 (x/2)-sin^2 (x/2))`

Itt most észre kell venni jópár azonosságot (amiket ugye mindet tudod fejből?):
- sin² α+cos² α = 1
- 2 sin α · cos α = sin 2α
- cos² α - sin² α = cos 2α
Úgyhogy ez lesz a kifejezésből:

`=(1 + sin x)/(cos x)`

De ez még csak a tg(45°+x/2), a feladat meg tg²... Vegyük ezért a négyzetét:
`((1 + sin x)/(cos x))^2 = (1 + 2 sin x + sin^2 x)/(cos^2 x)`
Hmm, ez nem tűnik olyannak, ami értelmesen folytatható...
Ezért mégse fejtsük ki a számláló négyzetét, a nevezőnél viszont használjuk ki, hogy sin²α+cos²α=1, vagyis cos²α = 1-sin²α:
`(1 + sin x)^2/(1-sin^2x) = (1 + sin x)^2/((1-sin x)(1+sin x)) = (1 + sin x)/(1-sin x)`

Kész.

3157. b)

`"tg"(45°+α)` értékét már kitaláltuk az előző példánál: `(1+sin(2α))/cos(2α)`
`"tg"(45°-α)` is hasonlóan mehet, csináld végig. A tangens kivonásos azonosság ez:
`"tg"(x-y) = ("tg"\ x - "tg"\ y)/(1+"tg"\ x·"tg"\ y)`
Az előző reciproka jön ki, vagyis hogy `cos(2α)/(1+sin(2α))`

(Kijöhet gyorsabban is így: tudjuk, hogy `"tg"(90°-α) = "ctg"(α)`, ezért
`"tg"(45°+α) = "tg"(90°-(45°-α)) = "ctg"(45°-α) = 1/("tg"(45°-α))`
vagyis 45°+α és 45°-α tangense egymás reciproka.)

Szóval a feladat így alakul:
`"tg"(45°+α)+"tg"(45°-α)-2/(cos 2α) = (1+sin 2α)/(cos 2α)+(cos 2α)/(1+sin 2α)-2/(cos 2α) =`
`=(sin 2α-1)/(cos 2α)+(cos 2α)/(1+sin 2α) = ((sin 2α-1)(1+sin 2α)+(cos 2α)^2)/((cos 2α)(1+sin 2α))`
`= (sin^2 2α-1+cos^2 2α)/((cos 2α)(1+sin 2α))= (1-1)/((cos 2α)(1+sin 2α)) = 0`