Question

Vektorok

doniko99 kérdése

429 7 éve

Csatoltam képet.

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.

0

Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2

bongolo { Aranyérmes

} válasza

7 éve

2)
Itt is ugyanilyen vektoriális szorzat kell:

$bar a × bar b = (bar m + bar n)×(3bar m + 2 bar n)$
Ennek a hossza lesz a parallelogramma területe.

$bar m$ és

$bar n$ egységvektorok, és meg van adva róluk valami ezzel a zárójeles jelöléssel:

$(bar m, bar n) = π/6$
Nem tudom, mi lehet ez a jelölés. Talán a skalárszorzat, de olyankor nem nagyon szokott π kijönni. Inkább a vektorok közötti szög lehet, de nem láttam még így jelölni. Fogjuk rá, hogy az az, szóval:

$θ = π/6$

---
Tudjuk, hogy a keresztszorzat disztributív, tehát:

$bar x × (bar y + bar z) = bar x×bar y + bar x×bar z$
Vagyis most:

$bar a × bar b = (bar m + bar n)×(3bar m + 2 bar n) =$

$= bar m×3bar m + bar m × 2bar n + bar n×3bar m + bar n×2bar n$

Szerencsére ez jól egyszerűsödik, mivel

$bar a × bar a = 0$ . Ez lesz:

$= bar m × 2bar n + bar n×3bar m$
Azt is tudjuk, hogy

$bar a × bar b = -bar b×bar a$ . Tehát:

$= -2 bar n × bar m + 3 bar n × bar m$

$= bar n × bar m$

A keresztszorzat hossza pedig így számolható (ha nem tudjuk a koordinátákat, de tudjuk a szögüket):

$|bar n × bar m| = |bar n|·|bar m|·sin\ θ$

Mivel egységvektorok, a hosszuk 1:

$|bar n|=|bar m|=1$

A szinuszt számold ki te.

Módosítva: 7 éve

0

**bongolo** { } megoldása · Accepted Answer · 2017-10-12 23:08:41

1)
Nem csinálom meg, csak leírom, hogyan tudod kiszámolni:

A háromszög két oldala az egy-egy vektor, írd fel. Bármelyik jó, mondjuk legyen az

$bar(AB)$ és az

$bar(AC)$ .
Két vektor vektoriális szorzata (annak a nagysága, nem az iránya) megadja annak a parallelogrammának a területét, amit a két vektorral lehet kifeszíteni. A háromszög területe ennek a parallelogrammának a fele.

Vagyis kellene az

$bar(AB) × bar(AC)$ szorzat.

Arra van egy szabály, amit be kell most magolnod:

Ha

$bar a × bar b = bar c$ , akkor c koordinátái így jönnek ki:

$c_1 = a_2b_3-a_3b_2$

$c_2 = a_3b_1-a_1b_3$

$c_3 = a_1b_2-a_2b_1$

Van erre a szorzatra egy mátrix-determinánsos emlékeztető, amit könnyebb megjegyezni:

$bar a × bar b = |(bar i,bar j,bar k),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)|$
ahol

$bar i, bar j " és " bar k$ a három koordinátarendszer-egységvektor.
Persze ehhez tudni kell, mi az a determináns, de úgyis meg kell azt is tanulnod...

Miután megvan a szorzat, ami persze egy vektor, kell annak a vektornak a nagysága, a hossza:

$|bar c| = sqrt(c_1^2+c_2^2+c_3^2)$

Ennek a fele a válasz.

Keresés

Toplista

Vektorok

Válaszok