Vektorok

1)
Nem csinálom meg, csak leírom, hogyan tudod kiszámolni:

A háromszög két oldala az egy-egy vektor, írd fel. Bármelyik jó, mondjuk legyen az `bar(AB)` és az `bar(AC)`.
Két vektor vektoriális szorzata (annak a nagysága, nem az iránya) megadja annak a parallelogrammának a területét, amit a két vektorral lehet kifeszíteni. A háromszög területe ennek a parallelogrammának a fele.

Vagyis kellene az `bar(AB) × bar(AC)` szorzat.

Arra van egy szabály, amit be kell most magolnod:

Ha `bar a × bar b = bar c`, akkor c koordinátái így jönnek ki:
`c_1 = a_2b_3-a_3b_2`
`c_2 = a_3b_1-a_1b_3`
`c_3 = a_1b_2-a_2b_1`

Van erre a szorzatra egy mátrix-determinánsos emlékeztető, amit könnyebb megjegyezni:
`bar a × bar b = |(bar i,bar j,bar k),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)|`
ahol `bar i, bar j " és " bar k` a három koordinátarendszer-egységvektor.
Persze ehhez tudni kell, mi az a determináns, de úgyis meg kell azt is tanulnod...

Miután megvan a szorzat, ami persze egy vektor, kell annak a vektornak a nagysága, a hossza:
`|bar c| = sqrt(c_1^2+c_2^2+c_3^2)`

Ennek a fele a válasz.

2)
Itt is ugyanilyen vektoriális szorzat kell:
`bar a × bar b = (bar m + bar n)×(3bar m + 2 bar n)`
Ennek a hossza lesz a parallelogramma területe.

`bar m` és `bar n` egységvektorok, és meg van adva róluk valami ezzel a zárójeles jelöléssel:
`(bar m, bar n) = π/6`
Nem tudom, mi lehet ez a jelölés. Talán a skalárszorzat, de olyankor nem nagyon szokott π kijönni. Inkább a vektorok közötti szög lehet, de nem láttam még így jelölni. Fogjuk rá, hogy az az, szóval:
`θ = π/6`

---
Tudjuk, hogy a keresztszorzat disztributív, tehát:
`bar x × (bar y + bar z) = bar x×bar y + bar x×bar z`
Vagyis most:
`bar a × bar b = (bar m + bar n)×(3bar m + 2 bar n) =`
`= bar m×3bar m + bar m × 2bar n + bar n×3bar m + bar n×2bar n`

Szerencsére ez jól egyszerűsödik, mivel `bar a × bar a = 0`. Ez lesz:
`= bar m × 2bar n + bar n×3bar m`
Azt is tudjuk, hogy `bar a × bar b = -bar b×bar a`. Tehát:
`= -2 bar n × bar m + 3 bar n × bar m`
`= bar n × bar m`

A keresztszorzat hossza pedig így számolható (ha nem tudjuk a koordinátákat, de tudjuk a szögüket):
`|bar n × bar m| = |bar n|·|bar m|·sin\ θ`

Mivel egységvektorok, a hosszuk 1: `|bar n|=|bar m|=1`

A szinuszt számold ki te.