1)
Az események:
`F`=10 fejet dobunk
`H`=Hamis érmét húzunk
`N`=Normális érmét húzunk

`P(H|F) = ?`
----

A valószínűségek:
`P(H)` = 1/100
`P(N)` = 99/100

`P(F|H)` = 1
`P(F|N)` = 1/2¹⁰

Teljes valószínűség tétel:
`P(F) = P(F|H)·P(H) + P(F|N)·P(N) = 1/(100) + (99)/(2^(10)·100)`
Bayes tétel:
`P(H|F) = P(F|H)·(P(H))/(P(F))`= ... számold ki

2)
`T`=Tudja a választ
`N`=Nem tudja, tippel
`H`=Helyesen válaszol

`P(T) = p`
`P(N) = 1-p`

Ha nem tudja (N), 1/3 valószínűséggel lesz helyes (H):
`P(H|N) = 1/3`
Ha tudja, akkor persze helyesen válaszol:
`P(H|T) = 1`

`P(T|H)` = ?
------------

Teljes val.sz:
`P(H) = P(H|T)·P(T) + P(H|N)·P(N) = ...`
Bayes:
`P(T|H) = P(H|T)·(P(T))/(P(H)) = ...`

3)
X és Y függetlenek akkor, ha P(XY) = P(X)·P(Y)
X, Y és Z teljesen függetlenek, ha P(XYZ) = P(X)·P(Y)·P(Z)

Dobjunk egyszerre 2 kockával. Legyen a 3 esemény:
A = fehér kockával párosat dobunk
B = fekete kockával párosat dobunk
C = az összeg páratlan

Összes esetek száma: 6·6=36
Kedvező esetek száma:
A esetén: 3·6 (a fehér kockán 3-féle páros szám lehet, a feketén bármi)
B esetén: 3·6 (a fekete kockán 3-féle páros szám lehet, a fehéren bármi)
C esetén: 3·3+3·3 (fehér páros fekete páratlan, illetve fordítva)
A ∩ B esetén: 3·3 (fehér páros és fekete páros)
A ∩ C esetén: 3·3 (fehér páros és fekete páratlan)
B ∩ C esetén: 3·3 (fekete páros és fehér páratlan)
A ∩ B ∩ C esetén: 0 (ilyen nincs)

Tehát:
P(A) = 18/36 = 1/2
P(B) = 18/36 = 1/2
P(C) = 18/36 = 1/2
P(AB) = 9/36 = 1/4, ez tényleg = P(A)·P(B) = 1/2·1/2
P(AC) = 1/4, ez is OK
P(BC) = 1/4, ez is OK
P(ABC) = 0, ez nem 1/8, nem teljesen függetlenek.

3) másik megoldás:
Ez most jobban is tetszik. Majdnem ugyanaz, csak a C is párossal legyen:
C = a dobások összege páros

Minden ugyanúgy alakul, mint az előbb, kivéve ezt:
A ∩ B ∩ C esetén a kedvező esetek száma = 3·3

Ezért P(ABC) = 9/36 = 1/4  ≠ 1/8