A feladat kulcsa az, hogy a 10ⁿ alakú számok n+1 darab számjegyből áll:

n=0: 10⁰=1, 1 számjegyű
n=1: 10¹=10, 2 számjegyű
n=1: 10²=100, 3 számjegyű
stb.

Ha pedig egy n-jegyű egész számot szorzunk, 10 hatványával, akkor a jegyek száma 10 kitevőjével fog nőni, például 5248 négyjegyű, ha ezt megszorozzuk 10⁵=10.000-rel, akkor az 52480000 számot kapjuk, ez 4+5=9-jegyű.

a) Érdemesebb előbb kiemelni 10¹⁰⁰⁰-nt: 10¹⁰⁰⁰*(10¹⁰⁰⁰-5)

10¹⁰⁰⁰ a fantiek értelmében 1001 darab számjegyből áll. Ha ebből elveszünk 5-öt, akkor könnyen el tudjuk dönteni, hogy a kapott szám csak 1 jeggyel lesz kevesebb az eredetinél. Ugyancsak a fentiek miatt a különbség 1000+1000=2000-jegyű lesz.

b) A hatványozás azonosságai szerint elvégezzük a zárójelbontást:
(10⁵)⁷=105*7=10²¹
(10³)⁸=103*8=10²⁴
10²¹ 22-jegyű, 10²⁵ 26-jegyű. Nem nehéz itt sem kitalálni, hogy összegük egy olyan szám lesz, hogy az első és az ötödik számjegy 1-es, a többi 0, és a számjegyek száma nem változik 10²⁵-enhez képest, tehát az összeg 26 számjegyű lesz.

c) A hatványozás egyik azonossága szerint 2³¹*5³¹*2 szorzatot kapjuk, egy másik azonosság szerint (2*5)³¹*2=10³¹*2 lesz. 10³¹ 32 számjegyű, ezt a 2-vel való szorzás nem bántja (mivel csak annyi történik, hogy az első 1-es számjegy 2-esre változik).

d) Ugyanúgy járunk el, mint a c)-nél, és 10¹⁵-2*10¹², 10¹⁵ 16 számjegyből áll. Nem nehéz itt sem kitalálni, hogy a számjegyek száma csak 1-gyel csökken, tehát 15 számjegyű lesz a végeredmény.