A jelen állás szerint úgy tűnik, hogy a "szektortartomány területére" megadott képlettel nem boldogulsz. (Lásd a Wikipédia a magyar nyelvű változatának "Polárkoordináta-rendszer" c. lapjának "szektortartomány területe" fejezetét.) Azzal sem tudsz mit kezdeni, ha ezt a területképletet két részre bontod?
Ha tudsz valamennyire integrálni, akkor szerintem nem futhatsz bele annyira csúnya dolgokba.
Nézzük meg ezt egy kicsit közelebbről. Az a korlátos tartomány aminek határát polárkoordinátás változatban adták meg egy szép szimmetrikus alakzat, egy ellipszis akar lenni. Tehát első közelítésben elegendő `0` és `pi` között kiszámolni a területet.

Be fogjuk látni, hogy `int_0^pi r(varphi)^2*d varphi=int_0^pi frac{d varphi}{(2-cos(varphi))^2}=frac{2*sqrt(3)*pi}{9}`, ahonnan a kérdéses terület `frac{4*sqrt(3)*pi}{9}`.

Integrálszámításból tanultad, hogy a trigonometrikus függvények racionális kifejezései esetén általában érdemes a `t=tg(varphi/2)` helyettesítéssel élni. Ebben az esetben `d varphi=frac{2*dt}{1+t^2}` és `cos(varphi)=frac{1-t^2}{1+t^2}`. Így egy improprius integrálhoz jutunk:
`int_0^oo frac{2(1+t^2)}{(3t^2+1)^2}dt`, köszönhetően annak, hogy a `tg(varphi/2)` függvénynek végtelen szakadása van a `pi` helyen. Most egy pillanatra eltekintünk a határátmenetektől, csak az integrandusra koncentrálunk. Határozatlan együtthatók módszerével próbáljuk megoldani az integrált. Tudjuk, hogy az `arctg(sqrt(3)t)` függvénynek és a `frac{t}{3t^2+1}` függvénynek is hasonló alakú a deriváltja. Vesszük tehát ezeknek a függvényeknek a lineáris kombinációját az `A` és `B` ismeretlen együtthatókkal és deriválunk: `frac{d}{dt}(A*arctg(sqrt(3)t)+frac{B*t}{3t^2+1})=frac{sqrt(3)*A*(1+3t^2)+B*(1-3t^2)}{(1+3t^2)^2}`.
Az integrandus számlálójában `2*(1+t^2)` szerepel, így teljesülnie kell `{3*sqrt(3)*A-3B=2; sqrt(3)*A+B=2}` lineáris kétismeretlenes egyenletrendszernek. Aminek a megoldása `A=4*sqrt(3)/9` illetve `B=2/3`. Legyen `F(t):=frac{4*sqrt(3)*arctg(sqrt(3)*t)}{9}+frac{2t}{3*(3t^2+1)^2}+C`. Ezek után kijelenthetjük, hogy az improprius integrálunk a következő határátmenetet ölti: `lim_(eta->oo)[F(t)]_0^eta=frac{2*sqrt(3)*pi}{9}`. Felhasználjuk, hogy `F(0)=C` és a határérték számításnál az első és harmadik tag `lim_(eta->0) frac{4*sqrt(3)*arctg(sqrt(3)*eta)}{9}=frac{2*sqrt(3)*pi}{9}+C` és a második tag pedig zérus.

Csak reménykedni tudok, hogy nem késtem le annyira a megoldással.