Hatványozás

`((3·d^2)^(-2)·(3^(-4)·d^(-5))^(-2))/((3^3·d^(-4))^3·(3·d^3)^(-1))`

Úgy gondolom, hogy a sima hatványok még nem okoznak problémát, tehát mondjuk
`d^4 = d·d·d·d`
Szóval ez a hatvány csak azt jelenti, hogy 4 darab `d` össze van szorozva.

Valószínű a negatív hatványokat nem érted, mert ott nem lehet azt mondani, hogy mínusz 4 darab `d` van összeszorozva. Mindjárt elmagyarázom, de kezdjük messzebbről:

Nésszük először ezt, ez valószínű megy simán:
`d^2·d^3 = (d·d)·(d·d·d) = d·d·d·d·d = d^5`
Vagyis azonos alapú hatványok (most az alap a `d`) szorzatakor össze kell adni a kitevőket.
`d^2·d^3 = d^(2+3) = d^5`

Nézzünk most egy ilyet, ez már kicsit bonyolultabb:
`d^5/d^2`
Ugye ez azt jelenti, hogy `(d·d·d·d·d)/(d·d)`. Lehet egyszerűsíteni két darab `d`-vel, lesz `(d·d·d)/1`, vagyis `d^3`. 5-ből egyszerűsítettünk 2-vel, lett 5-2=3.

Ki se kell írni ezeket a kifejtéseket, lehet kapásból azt csinálni, hogy azonos alapú hatványok osztásánál egyszerűen kivonjuk egymásból az alapokat:
`d^5/d^2 = d^(5-2) = d^3`

Na most mi van ilyenkor?
`d^2/d^5`
Ha kivonjuk, mint az előbb, negatívot kapunk:
`d^2/d^5 = d^(2-5) = d^(-3)`
És minek kellene kijönnie? Bontsuk fel a hatványt:
`d^2/d^5 = (d·d)/(d·d·d·d·d) = 1/(d·d·d) = 1/d^3`
Lehetett egyszerűsíteni két darab `d`-vel is.

Szóval a negatív hatvány azt jelenti, hogy reciprok: `d^(-3)= 1/d^3`

-----
Ha ezeket megértetted, akkor utána már nagyon mechanikusan megy a dolog: Egyszerűen az azonos alapú hatványoknál ha azok szorozva vannak, akkor össze kell adni a kitevőket, ha meg osztva vannak, ki kell vonni. (Az se baj, ha negatív lesz.)

És mi van akkor, ha nem egyetlen szám vagy betű hatványa kell? pl. ez:
`(3·d^3)^2`
A négyzet azt jelenti, hogy össze kell szorozni két olyan dolgot:
`(3·d^3)^2 = (3·d^3)(3·d^3) = 3·d^3·3·d^3 = 3·3·d^3·d^3`
Most pedig azonos alapúak hatványa van már, a kitevőket össze kell adni:
` = 3^2·d^(3+3) = 3^2·d^6`

Leírom a számolás kihagyásával is:
`(3·d^3)^2= 3^2·d^6`
Vagyis mi történt? Be kellett szorozni a hatványokat:
`(3^1·d^3)^2= 3^(1·2)·d^(3·2) = 3^2·d^6`

Már meg is van a szabály: hatvány hatványánál össze kell szorozni a kitevőket.

--------

A feladatod pedig így alakul részenként:
`(3·d^2)^(-2) = 3^(1·(-2))·d^(2·(-2)) = 3^(-2)·d^(-4)`
`(3^(-4)·d^(-5))^(-2) = 3^((-4)·(-2))·d^((-5)·(-2)) = 3^8·d^(10)`
`(3^3·d^(-4))^3 = ...` itt is szorozd be a kitevőket 3-mal
`(3·d^3)^(-1) = ...` itt pedig szorozd be -1-gyel. Az elejével segítek: `3`-ból, ami `3^1`, abból `3^(-1)` lesz a hatványok szorzáss után. A `d`-t csináld meg te.

Ha jól csináltad, ez lett:
`(3^(-2)·d^(-4)·3^8·d^(10))/(3^9·d^(-12)·3^(-1)·d^(-3))`

A számlálót is és a nevezőt is először össze kell vonni, ahol lehet. Tehát az azonos alapúakat kell keresni, azoknak a szorzatai vannak ott, a hatványkitevőket szorzatnál össze kell adni. Akkor is, ha negatívak, nem számít, össze kell adni. Csináld meg. Ha jól csináltad, ez lett:
`(3^(6)·d^(6))/(3^8·d^(-15))`

Most pedig a törttel kell foglalkozni: az azonos alapúak kitevőit ki kell vonni egymásból. Akkor is, ha negatív lesz.
`3^(6-8)·d^(6-(-15)) = 3^(-2)·d^(21)`

És csak most, a legvégén kell azzal foglalkozni, hogy hol lettek negatív kitevők. Azokből reciprok lesz pozitív kitevővel:
`3^(-2)·d^(21) = 1/3^2·d^(21)`
Amit lehet szebben is írni:
`d^(21)/3^2`