Nem foglalkoztam most sem a számelméleti diofantoszi
egyenletekkel, sem test és sem gyűrűelmélettel sem.
Csak egyszerűen segítségül hívtam az Excel-ben a Visual
Basic-et. Én egy kicsit más egyenleteket vizsgálva a következő
"nyers" eredményeket kaptam:

Felírva az `xy*(3x+3y+1)=(2*3*7)^3*z` egyenletet csak
`z>1` esetekre kaptam megoldásokat.
A részmegoldásokat lásd a csatolt kép első táblázatában.
Viszont felírva `xy*(3x+3y+1)=(2*3*5)^3*z` egyenletet , már
kaptam megoldásokat a `z=1` esetre is. A
részmegoldásokat lásd a csatolt kép harmadik táblázatában.
Ugyanígy az `xy*(3x+3y+1)=(2*3*5*7)^3*z` egyenlettel is. A
részmegoldásokat lásd a csatolt kép második táblázatában.
(Ahol x és y értéket long integer-ként futtattam 2-től 1000-ig)

Köszönöm a választ.
Sajnos ez számomra nem valami jó, mert kapásból jöttek az egész megoldások.
Igazából a következő lépésként az A3 = 3x2y + 3xy2 + xyA
egyenletnek az A egészre nézve x,y egész megoldás párokat kerestem volna.
Itt x=A/2 és y=A/2 megoldások biztosan egészek lehetnek A páros esetén.
Itt a hiperbolám minden esetben az A3 = 3x2y + 3xy2 + x3 + y3 egyenletet az y=x függvénnyel metszett pontját érinti.
xy(3x + 3y + A) = (A2/4)(3(A/2 + A/2) + A) = (A2/4)(3A + A)
És ez minden A-ra igaz?
Kapásból jött a cáfolat, amit kerestem, mivel egész x,y, A hármasok léteztek az előzőekben és én azt szerettem volna
bizonyítani, hogy ezek nem léteznek, és akkor léphetek tovább.
A mostani, újabb feladatban, pedig csak x,y=A/2 legyen lehetséges. Az előző egyfajta beugró lett volna.
Bevallom, már próbálkoztam Viette-formulával is, de azzal is elakadtam, nem sikerült vagy nem ismerem
azokat az összefüggéseit, ami az egész megoldásokat biztosítja.
Ez még mindig egy lépés lett volna, mert a végső hiperbolám még odébb lenne.
Köszönöm a segítséget.