333

333 (+ 333 = 666)
831 (+ 138 = 969)
732 (+ 237 = 969)
633 (+ 366 = 969)
534 (+ 435 = 969)
435 (+ 534 = 969)
336 (+ 633 = 969)
237 (+ 732 = 969)
138 (+ 831 = 969)
630 (+ 36 = 666)
930 (+ 39 = 969)

Értelemszerűen a gondolt szám csak háromjegyű lehet, mivel ha kétjegyű, akkor legjobb esetben is 99+99=198 lehet az összeg, amiben van 9-estől és 6-ostól eltérő számjegy, ha pedig több jegyű, akkor az összeg is több jegyű lesz.

Legyen a gondolt szám abc, ahol a≠0, ennek a fordítottja cba. Tudjuk, hogy ezek a számok felírhatóak a*100+b*10+c és c*100+b*10+a alakban, ezek összege:

a*100+b*10+c+c*100+b*10+a = a*101+b*20+c*101=(a+c)*101+b*20

Látható, hogy az első szorzat értéke 101, 202, ..., 909 lehet, tehát csak az első és az utolsó számjegyre van hatással, b*20 viszont a másodikra, de a harmadikra is hatással lehet, így ami biztos, hogy az utolsó számjegyre csak a+c értéke hat; ha az utolsó számjegy 6, akkor (a+c)*101 értéke csak 606 lehet, tehát a+c értéke 6. Ennek a közepére ha 6-os megy, akkor b*20=60-nak kell teljesülnie, erre b=3 adódik. Lehetne b*20=160 is, de akkor az első számjegy már 7 lenne. Ezekből azt mondhatjuk, hogy ha a+c=6, vagyis ha az első és az utolsó számjegy összege 6, és b=3, tehát a középső számjegy 3, akkor a kritériumoknak megfelelő számot kapjuk.
Ha ugyanezt megcsináljuk 909-cel, akkor a+c=9-et kapjuk, és erre is az jön, hogy b értéke csak 3 lehet.
Más lehetőség nincs, tehát mindet végignéztük. Összesen 6+9=15 olyan háromjegyű szám van, hogy annak és fordítottjának összege csak 6-ost és/vagy 9-est tartalmaz. Azt viszont elmondhatjuk, hogy mindegyik szám közepén 3-as számjegy áll.