9. évfolyamos matematika. Igazold, hogy...

1) Bizonyítani kellene: `x^4+y^4+z^4 > xyz(x+y+z)`
Szerintem az egyenlőséget is meg kell engedni, ≥ kellene. Pl. ha x=y=z=0, akkor egyenlő a két oldal.

`(x-y)^2 >= 0, "vagyis " x^2+y^2 - 2xy >= 0, "ezért " x^2+y^2 >= 2xy`
Ezt felírva háromszor ezt kapjuk:
`(x^2+y^2) + (x^2+z^2) + (y^2+z^2) >= 2xy + 2xz + 2yz`

(1) `x^2+y^2 + z^2 >= xy + xz + yz`

Nem `x^2` kell nekünk, hanem `x^4`, ezért x helyébe írjunk `x^2`-et, `y` helyébe `y^2`-et, stb:
(2) `(x^2)^2+(y^2)^2 + (z^2)^2 >= x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2`

Ennek a jobb oldala `(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2`. Írjuk fel megint (1)-et, de most x helyébe xy, stb kerüljön:
(3) `(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 >= (xy)(xz) + (xy)(yz) + (xz)(yz) = xyz(x+y+z)`

Vagyis (2) és (3) összevonva:
`x^4+y^4 + z^4 >= xyz(x+y+z)`

2) Azt jól értem, hogy a+b+c>3 benne van a feltételben? Szóval a per jel (/) helyett függőleges vonalat (|) akartál írni?

`a+b+c > 3`
Legalább az egyik pozitív kell legyen, hisz három negatív összege nem nagyobb 3-nál. Legyen mondjuk a `c` az: `c > 0`
`c > 3-(a+b)`
Mivel c pozitív, az egyenlőtlenség négyzeténél is megmarad az egyenlőtlenség iránya:
`c^2 > (3-(a+b))^2`

`a^2+b^2+c^2 > a^2+b^2+(3-(a+b))^2 =`
`= 2a^2+2b^2+2ab-6a-6b+9`
Ennek kellene legalább 3-nak lennie (≥ 3), akkor már `a^2+b^2+c^2 > 3`.

Vagyis ezt kellene belátni:
`2a^2+2b^2+2ab-6a-6b+6 >= 0`

Ennek a kifejezésnek a duplája ennyi:
`4a^2+4b^2+4ab-12a-12b+12=(4a^2+4ab+b^2-12a-6b+9)+(3b^2-6b+3)`

Na most a jobb oldalon zárójelben lévő kifejezéseket azért így írtam fel, mert át lehet alakítani őket:
`(2a+b-3)^2 = (2a+b)^2-6(2a+b)+9 = 4a^2+4ab+b^2-12a-6b+9`
`3(b-1)^2 = 3b^2-6b+3`
Mindkettő egy-egy teljes négyzet, ezért ≥ 0. Kész.