Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

9. évfolyamos matematika. Igazold, hogy...

410
1.) x^4+y^4+z^4>xyz(x+y+z)

2.)a^2+b^2+c^2>3 (a,b,c eleme R/a+b+c>3)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
1) Bizonyítani kellene: x4+y4+z4>xyz(x+y+z)
Szerintem az egyenlőséget is meg kell engedni, ≥ kellene. Pl. ha x=y=z=0, akkor egyenlő a két oldal.

(x-y)20,vagyis x2+y2-2xy0,ezért x2+y22xy
Ezt felírva háromszor ezt kapjuk:
(x2+y2)+(x2+z2)+(y2+z2)2xy+2xz+2yz

(1) x2+y2+z2xy+xz+yz

Nem x2 kell nekünk, hanem x4, ezért x helyébe írjunk x2-et, y helyébe y2-et, stb:
(2) (x2)2+(y2)2+(z2)2x2y2+x2z2+y2z2

Ennek a jobb oldala (xy)2+(xz)2+(yz)2. Írjuk fel megint (1)-et, de most x helyébe xy, stb kerüljön:
(3) (xy)2+(xz)2+(yz)2(xy)(xz)+(xy)(yz)+(xz)(yz)=xyz(x+y+z)

Vagyis (2) és (3) összevonva:
x4+y4+z4xyz(x+y+z)
Módosítva: 7 éve
1

2) Azt jól értem, hogy a+b+c>3 benne van a feltételben? Szóval a per jel (/) helyett függőleges vonalat (|) akartál írni?

a+b+c>3
Legalább az egyik pozitív kell legyen, hisz három negatív összege nem nagyobb 3-nál. Legyen mondjuk a c az: c>0
c>3-(a+b)
Mivel c pozitív, az egyenlőtlenség négyzeténél is megmarad az egyenlőtlenség iránya:
c2>(3-(a+b))2

a2+b2+c2>a2+b2+(3-(a+b))2=
=2a2+2b2+2ab-6a-6b+9
Ennek kellene legalább 3-nak lennie (≥ 3), akkor már a2+b2+c2>3.

Vagyis ezt kellene belátni:
2a2+2b2+2ab-6a-6b+60

Ennek a kifejezésnek a duplája ennyi:
4a2+4b2+4ab-12a-12b+12=(4a2+4ab+b2-12a-6b+9)+(3b2-6b+3)

Na most a jobb oldalon zárójelben lévő kifejezéseket azért így írtam fel, mert át lehet alakítani őket:
(2a+b-3)2=(2a+b)2-6(2a+b)+9=4a2+4ab+b2-12a-6b+9
3(b-1)2=3b2-6b+3
Mindkettő egy-egy teljes négyzet, ezért ≥ 0. Kész.
1