Trigonometrikus egyenletek

πππ1. 2*sinx=tgx / tgx=sinx/cosx
2*sinx=sinx/cosx / szorzunk cosx-szel, feltéve hogy cosx≠0-val
2*sinx*cosx=sinx /kivonunk mindkét oldalból sinx-et:
2*sinx*cosx-sinx=0 /kiemelünk sinx-et:
sinx*(2cox-1)=0 / egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényező 0, ezért
vagy: sinx=0 vagyis x=k*π
vagy: 2cosx-1=0 /+1
2cosx=1 /:2
cosx=0,5 /a koszinusz függvény 0⁰-360⁰ között két helyen veszi fel a 0,5-ös értéket: π/3-nál és 5π/3-nál. Így ennek az egyenletnek a megoldása:
x₁=π/3+k*2π és x₂=5π/3+l*2π, ahol k,l∈Z
Összesen tehát 3 megoldása volt ennek az egyenletnek!

2 sinx/tgx=1/2 /tgx≠0 (mert akkor értelmetlen lenne), ezért x≠k*π
szorzunk tgx-szel:
sinx=tgx/2 /szorzunk 2-vel:
2sinx=tgx /tgx=sinx/cosx
2sinx=sinx/cosx / szorzunk cosx-szel, feltéve hogy cosx≠0-val
2*sinx*cosx=sinx /kivonunk mindkét oldalból sinx-et:
2*sinx*cosx-sinx=0 /kiemelünk sinx-et:
sinx*(2cox-1)=0 / egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényező 0, ezért
vagy: sinx=0 vagyis x=k*π (azonban, ezt már kizártuk korábban)
vagy: 2cosx-1=0 /+1
2cosx=1 /:2
cosx=0,5 /a koszinusz függvény 0⁰-360⁰ között két helyen veszi fel a 0,5-ös értéket: π/3-nál és 5π/3-nál. Így ennek az egyenletnek a megoldása:
x₁=π/3+k*2π és x₂=5π/3+l*2π, ahol k,l∈Z
Ennek a feladatnak 2 megoldása volt.

3. tgx=ctgx / ctgx=1/tgx
tgx=1/tgx / tgx≠0, (mert akkor értelmetlen lenne), ezért x≠k*π
szorzunk tgx-szel:
tg²x=1, amiből tgx=1 vagy tgx=-1
ha tgx=1, akkor x=π/4+k*π
ha tgx=-1, akkor x=-π/4+k*π
Azonban a két megoldás pont egymás ellentétei, ezért elég felírni,hogy:
x=π/4+k*π/2=π/4*(1+2k)