Egyenletrendszer valós számok halmazán

Mivel nincs annyi időm, most csak két szerény ötlettel élnék:
Az 1.) feladatnál kínálja magát az `(x+y)^3=x^3+y^3+3*x*y*(x+y)` azonosság.
Ezt figyelembe véve adódik az `(x+y)^3=135`, azaz `x+y=3*root(3)(5)`. Ez utóbbi egyenletet
összehozva a második egyenlettel egy másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerre redukálhatsz. Több gyöke is van az egyenletrendszernek, de ami titeket érdekel az a valós gyökök. Ebben az esetben az egyik gyök `root(3)(5)`, a másik gyök `2*root(3)(5)`.
2.) feladatnál a második egyenletet átrendezve és négyzetre emelve, kapod `x^4+y^4=1-4x*y+6x^2*y^2` egyenletet. Ezután `(x*y)`-ra nyersz egy másodfokú egyenletet: `13+x^2*y^2=1-4x*y+6x^2*y^2`. Ennek eredményét felhasználva kiküszöbölheted a második egyenletnél az egyik ismeretlent. Itt is több gyöke van az egynletrenszernek, de ami titeket érdekel az a valós gyökök. Ebben az esetben az egyik gyök az `1` illetve a másik gyök a `2`. És ezek ellentettjei.

Visszatérve a megoldáshoz vezető útra az 1.) feladatnál megállapíthatjuk, hogy `135=90+45` felhasználásával adódik az `x+y=3*root(3)(5)` összefüggés. Továbbá `x*y*(x+y)=3*root(3)(5)*xy=30`. Így a következő másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerhez jutunk:
`{(x,+,y,=,3*root(3)(5)),( , ,x*y,=,frac{10}{root(3)(5)}):}`; azaz `x*(3*root(3)(5)-x)=frac{10}{root(3)(5)}`. Innen adódik a `-root(3)(5)*x^2+3*root(3)(5)^2*x-10=0` másodfokú egyenlet, amelynek gyökei `x_1=root(3)(5)` és `x_2=2*root(3)(5)`. Így `y_1=2*root(3)(5)` és `y_2=root(3)(5)`.
Még magyarázatra szorul a megoldóképlet alkalmazása. A diszkrimináns itt `9*25^(2/3)-4*10*5^(1/3)=5*5^(1/3)=5^(4/3)` alakú. Ezt és együtthatókat behelyettesítve a megoldóképletbe adódik egyrészt a `frac{3*25^(1/3)+5^(2/3)}{2*5^(1/3)}=frac{4*5^(2/3)}{2*5^(1/3)}=2*5^(1/3)`, másrészt `frac{3*25^(1/3)-5^(2/3)}{2*5^(1/3)}=frac{2*5^(2/3)}{2*5^(1/3)}=5^(1/3)`.
A kapott megoldások ellenőrzése: `5^(3/3)+2^3*5^(3/3)=5+40=45` és `5^(2/3)*2*5^(1/3)+5^(1/3)*2^2*5^(2/3)=10+20=30` és vica versa.

2.) feladat megoldása esetén rendezzük, majd emeljük négyzetre a második egyenletet.
Azaz `(x^2-y^2)^2=(1-2xy)^2`-ből `x^4+y^4-2x^2*y^2=1-4xy+4x^2*y^2` adódik.
Mindkét egyenletet `x^4+y^4`-re rendezve kapjuk azt a bizonyos `13+x^2*y^2=1-4x*y+6x^2*y^2` másodfokú egyenletre átalakítható egyenletet. Ezt a transzformációt a `t=x*y` új ismeretlen bevezetésével oldjuk meg. Kapjuk a `12+4t-5t^2=0` másodfokú egyenletet.
Ennek gyökei `t_1=2` és `t_2=-6/5`. Ezután az egyszerűbbnek tűnő második egyenletet felhasználva két kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert oldunk meg felhasználva, hogy `t=x*y`.
`{(x^2-y^2,+,2*xy,=,1),( , ,x*y,=,2):}` (3) illetve
`{(x^2-y^2,+,2*xy,=,1),( , ,x*y,=,-6/5):}` (4)

Behelyettesítve az `y=2/x` -et (3) egyenletrendszer első egyenletébe kapjuk, hogy `x^2-4/x^2+3=0`. Ez egy negyedfokú egyenletet eredményez, de `u=x^2` új ismeretlen bevezetésével átalakítható másodfokúra. Ennek gyökei `u_1=-4` és `u_2=1`, de tudjuk, hogy csak `u ge 0` esetén tudunk valós `x` megoldásokat nyerni, ezért `u=1`, amiből `x_1=1` és `x_2=-1`. Amiből következik, hogy `y_1=2` és `y_2=-2`. A részmegoldások ellenőrzését rád bízom.

Hasonlóan behelyettesítve az `y=frac{-6}{5x}` -et (4) egyenletrendszer első egyenletébe kapjuk, hogy `x^2-frac{36}{25*x^2}-frac{12*x}{5*x}-1=0`. Ez is egy negyedfokú egyenletet eredményez, de `v=x^2` új ismeretlen bevezetésével átalakítható másodfokúra. Hasonló módszerrel, mint az előbb ismertetett megoldásnál kapjuk `x_1=-sqrt(frac{sqrt(433)+17}{10})` illetve `x_2=sqrt(frac{sqrt(433)+17}{10})`. Majd `y=frac{-6x}{5}` segítségével `y_1=sqrt(frac{sqrt(433)-17}{10})` illetve `y_2=-sqrt(frac{sqrt(433)-17}{10})`. A kapott gyökök ellenőrzését megint rád bíznám.