Parabola

Első közelítésben egy ötlettel állnék elő. Ez egy koordináta-geometria feladat. Adott ` v(v_1; v_2)` irányvektorú és adott `P(1;6)` ponton átmenő egyenes egyenletét kell felírni először. (Ott van a sárga függvénytáblázatok 58-adik oldalán) Ez egy (`v_1` és `v_2`-töl függő) kétparaméteres lineáris egyenletet ad. Majd megkeresed `y=x^2` és az előbb kapott egyenlet (mint kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszer ) gyökeit. Ezek két ponthoz (legyen ez `R` és `S`) tartozó koordináták lesznek. Befejezésül (fügvénytáblázat 57-edik oldalán két pont távolságképlete alapján) felírod, hogy a `d(P; R)=d(P; S)` és `2*d(P; R)=d(R; S)` teljesüljön, magyarán megint egy kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszer `v_1` és `v_2` gyökeit határozod meg.

Ezek után lássuk a medvét. Be fogjuk látni, hogy `v_2=2` és `v_1=1` esetén a `d(P; R)=d(P; S)=5` és `d(S; R)=10` lesz, ami a megoldást adja. (*)

Adott ` v(v_1; v_2)` irányvektorú és adott `P(1;6)` ponton átmenő egyenes egyenlete:
`v_2*x-v_1*y=v_2*1-v_1*6` azaz `y=frac{v_2*x+6*v_1-v_2}{v_1}`, ahol `v_1 ne 0`.

Majd megkeressük az egyenes és a parabola metszéspontjainak a koordinátáit, azaz megoldjuk a
`{(y,=,frac{v_2*x+6*v_1-v_2}{v_1}),(y,=,x^2):}` másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszert `(x,y)`-ra. Szem előtt tartjuk azt is, hogy a megoldások függni fognak `v_1` és `v_2`-től. Tudjuk, hogy két megoldása lesz az egyenletrendszernek és a két metszésponthoz (`R` és `S` pontokhoz) tartozó koordináták így fognak kinézni: `x_s=frac{sqrt(24v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+v_2}{2*v_1}`, `y_s=frac{v_2*sqrt(24v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+12*v_1^2-2*v_1*v_2+v_2^2}{2*v_1^2}`, továbbá
`x_r=frac{v_2-sqrt(24v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)}{2*v_1}`, `y_r=frac{-v_2*sqrt(24v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+12*v_1^2-2*v_1*v_2+v_2^2}{2*v_1^2}`.

Ezután a távolságképletet alkalmazva a következő `v_1` és `v_2`-től függő képletekhez jutunk:
`d(P; R)=frac{sqrt(v_1^2+v_2^2)*(sqrt(24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+2*v_1-v_2)}{2*v_1^2}`; `d(R; S)=frac{sqrt(v_1^2+v_2^2)*sqrt(24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)}{v_1^2}`;`d(P; S)=frac{sqrt(v_1^2+v_2^2)*(sqrt(24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)-2*v_1+v_2)}{2*v_1^2}`;
`frac{d(R;S)}{d(P;S)}=frac{(2*v_1-v_2)*(sqrt(24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)}{10*v_1^2}`. Majd megoldjuk a `frac{(2*v_1-v_2)*(sqrt(24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)+24*v_1^2-4*v_1*v_2+v_2^2)}{10*v_1^2}=2` egyenletet `v_2`-re kapjuk, hogy
`v_2=2*v_1` azaz a kívánt egyenes meredeksége `m=v_2/v_1=2`, ahol `v_1 ne 0` tetszőleges valós szám. Ha `v_2=2` és `v_1=1` értékekkel behelyettesítünk a megfelelő egyenletekbe és távolságképletekbe éppen a (*) összefüggésekhez jutunk. A `P(6;1)` ponton átmenő egyenes egyenlete `y=2x+4` és a kapott `R` és `S` metszéspontok koordinátáira `R(1-sqrt(5); 6-2*sqrt(5))` és `S(1+sqrt(5); 6+2*sqrt(5))` értékeket kapjuk.