Szia!

Az egyenesek távolsága egyetlen esetben nem lesz 0, ha éppen párhuzamosak. És azt úgy tudod megállapítani, hogy ugyanaz a normálvektoruk, ez pedig most így van, mindkettő normálvektora (-2,1).

Egyenesek távolságát közvetlenül nem tudod kiszámolni, csak két pont távolságát. Tehát keresnünk kell egy-egy pontot az egyeneseken, ami a mindkettőre merőleges egyenesen helyezkedik el.

Most tehát először a merőleges egyeness egyenletét keressük. Ehhez kell egy normálvektor, és bármely rajta fekvő pont. A merőleges egyenes normálvektora (nm) megegyezik az eredeti egyenesek irányvektorával (v12).

Az eredeti egyenesek normálvektora ismert, ebből kiszámoljuk az irányvektorukat (ugye a szokásos- megcserélem a koordinátákat és az egyiknek veszem az ellentettjét- módszerrel):

n12=(-2,1)
v12=(1,2)

És a merőleges egyenesre:

nm=v12=(1,2)

Már csak egy rajta fekvő pont kéne. Ugye az eredeti egyenesek hosszán bárhol kijelölhetjük ezt, ez szabad választás. Legyen most mondjuk az 1. egyenesen, x=0-nál. Ha ezt behelyettesíted az egyenletébe, y=5-öt kapsz. Tehát a választott pontunk koordinátái: A=(0,5).

Meg is van a merőleges egyenes egyenlete (ugye a normálvektorából és a pontból):

1x+2y=1*0+2*5
x+2y=10

A merőleges egyenes metszéspontját már ismerjük az első egyenessel (ez A pont), már csak a második egyenessel való metszéspontját kell meghatározni, és akkor ennek a két pontnak a távolsága lesz egyben az egyenesek távolsága. A másik pontot úgy kapod meg, hogy veszed a rajta egymást metsző két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert.

-2x+y=-5
x+2y=10

Én most a behelyettesítéses módszerrel oldom meg, tehát az első egyenletből kifejezem y-t és behelyettesítem a második egyenletbe:

y=2x-5
x+2(2x-5)=10
x+4x-10=10
5x=20
x=4

y=2x-5=2*4-5=3

Tehát a második egyenessel való metszéspont koordinátái: B=(4,3). Hogy egy helyen legyenek, A=(0,5).

És akkor már csak A és B távolsága kell:

d(A,B)=√ (0-4)^2+(5-3)^2 =√ 16+4 =√ 20 

És egyben ez az egyenesek távolsága is.

------------------------------------------------
Nagyon ajánlom, hogy a koordinátageometriában mindig rajzold le a dolgokat, sokkal könnyeebb úgy átlátni, mert általában nem nehéz a feladat, csak elég hosszú és sok lépésből áll. Én most csatolok egy képet ide Desmosban:

https://www.desmos.com/calculator/mhbmd9mii9