Matek

Szia!

Ha behúzod a húr két végéhez a sugarakat, egy egyenlő szárú háromszöget kapsz. Terület számításához szükséged lesz a középponti szögre (a behúzott két sugár között a kör origójánál), legyen ez γ.

A kisebb körszelet területe (T1) = a körcikk területe (Tkc) - a háromszög területe (Th).
A nagyobb körszelet területe (T2) = a kör területe (Tk) - a kisebb körszelet területe (T1).

Na akkor számoljuk ki ezeket a területeket, ehhez először a γ-t kéne tudni.

Ezt én koszinusztétellel számolnám (1.), ha ezt nem tanultad, akkor a háromszög elfelezése után egy derékszögű háromszögre vonatkozó trigonometriai aránnyal (2.).

(1.)
cosγ=(152+152-222)/(2*15*15)=-17/225

Nem baj az hogy ez negatív, ha felidézed az egységsugarú kört, ez azt jelenti, hogy a szöged nagyobb, mint 90°. És valóban ha beütöd a számológépbe, az eredmény:
γ=94,33°.

(2.)
Elfelezzük tehát a háromszöget a szimmetriatengelye mentén, így lesz 2 db olyan derékszögű háromszöged, amelyeknek az egyik befogója 11 cm (a másik ismeretlen), és az átfogója 15 cm. A 11 cm-es befogóval szemközti szög a γ/2.

És ez így a szinusz definíciója alapján:
sin(γ/2)=11/15
γ/2=47,17°
γ=94,33°
És örülünk, mert ugyanaz lett az eredmény.

És innen már nagyon könnyűek lesznek a területek.
Tk=152*π=706,86 cm2
Tkc=Tk*γ/360°=706,86*94,33°/360°=185,22 cm2
Th=a*b*sinγ/2=15*15*sin(94,33°)/2=112,17 cm2

És akkor a fenti képletek alapján:
T1=73,05 cm2
T2=633,81 cm2