a másodiknál a teljes tört zárójelben van, és az egész tört van az n-edik hatványon! Csak furán mutatja az oldal.

És utána az egészhez van 18 hozzáadva.

1)
`a_n = (3^(2n))/(3^n+4)`
`a_(n+1) = (3^(2n+2))/(3^(n+1)+4) = (3^2·3^(2n))/(3·3^n+4)`
A kettő különbsége:
`a_(n+1)-a_n = (9·3^(2n))/(3·3^n+4)-(3^(2n))/(3^n+4)`
Hozzuk a második tagot is ugyanarra a nevezőre:
`=(9·3^(2n) - (3^(2n)(3·3^n+4))/(3^n+4))/(3·3^n+4)`
Hmm, nem tudom én sem, hogyan jött ki a ebből a `(9·3^n+36)/(3·3^n+4)`, szerintem sehogy. Én azt csinálnám, hogy az előző kifejezést helyettesíteném egy nála kisebbel, vagyis olyannal, ahol többet vonok ki a számlálóban (4 helyett 3·4 van):
`>(9·3^(2n) - (3^(2n)(3·3^n+3·4))/(3^n+4))/(3·3^n+4) = (9·3^(2n) - 3·3^(2n))/(3·3^n+4)`
`= (6·3^(2n))/(3·3^n+4) > 0`
Ez már tuti pozitív.

Bizonyára aki a megoldást írta, ő is a `3^(2n)`-t helyettesítette `3^n·valami`-vel, ami kisebb nála, stb, de nem tudom most, hogy pontosan mivel.

2)
`a_n = ((-5)^(n) + 2*9^(n+1))/(3^(2n))`
`=((-5)^(n) + 2*9*9^(n))/((3^2)^(n))=((-5)^(n) + 2*9*9^(n))/(9^(n))`
`=((-5)^(n))/9^n + 2*9=((-5)/9)^n + 18`
Innen meg már ahogy írtad: "nem monoton, mert a páros indexű tagok 18-nál nagyobbak, a páratlan indexűek pedig 18-nál kisebbek."
Ehhez kell magyarázat? Ha `n` páros, akkor `((-5)/9)^n` pozitív, ha meg `n` páratlan, akkor negatív. Tiszta?


Ja, és ASCIImath-szal tudsz matematikai formulákat szépen írni, itt van egy kis segítség hozzá:
http://www.wjagray.co.uk/maths/ASCIIMathTutorial.html
Tehát pl. `(a/b)^n` úgy megy, hogy balra hajló vesszők (backtick a neve, Alt-7 a magyar billentyűzeten) között beírod, hogy (a/b)^n. Ha meg `((-5)/9)^n` kell, akkor két backtick között ((-5)/9)^n lesz.

Köszi a válaszokat!

Mindjárt megadom a pontokat, de lenne előtte még kérdésem, ha nem baj.
Szóval, ahogyan írtam, mi mindig az n+1 -edig tagból vonjuk ki az n-ediket, és úgy lehet megállapítani, hogy mi a helyzet. Vagy ha egyszerűbb a nevező, akkor ugyebár meg lehet állapítani úgy, hogy "felírjuk a nevezőt a számlálóba, majd kiegészítjük" ahogy a tanár mondaná

Szóval, a 2.) feladatnál miért nem ez a "kivonós" dolog történt?
Miért volt elég a 2. feladatnál az n. tag önmaga, hogy megoldjuk, mi a helyzet?

A másik kérdés, hogy az első feladatnál mi azt szoktuk csinálni ilyenkor, hogy van az n+1 és a sima n. tag ugyebár. Mind a kettőnek más a nevezője meg a számlálója is.
Akkor az lehetséges, hogy úgy kell megcsinálni, hogy amikor kivonod az n. tagot az n+1-ből, akkor közös nevezőre hozod a kettőt, amit mi úgy szoktunk, hogy az n+1. tag számlálóját az n. tag nevezőjével, az n. tag számlálóját pedig az n+1 tag nevezőjével szorzod be, utána pedig elvileg kijön a végső alak, ami kell?

Na már most, mert én az 1.)-nél így akartam csinálni amit most leírtam, csak elakadtam. Nem tudom, hogy például egy 3^(2n)*(3*3^(n) + 4) mivel egyenlő?
Én ezt a zárójelet kvázi "nem tudom felbontani". Segítesz ezt elmagyarázni?
Esetleg így kijönne az eredmény?

Köszi! @bongolo

`bb"> mi mindig az n+1 -edig tagból vonjuk ki az n-ediket"`
Sokfélekeppen lehet csinálni, ez az egyik lehetőség. Lehet úgy is, hogy `a_(n+1)/a_n` ha > 1, akkor szig.mon.nő, ha pedig < 1, akkor csökken.
Azt a módszert érdemes használni, ami egyszerűbb.

`bb"> 2.) feladatnál miért nem ez a kivonós dolog történt?"`
A kivonós is meg az osztásos is akkor jó, ha valójában tudjuk, hogy a sorozat mondjuk nő, és be akarjuk ezt bizonyítani. Ennél a feladatnál viszont még nem tartunk ott, sőt, ha megnézzük a sorozat néhány elemét, akkor látjuk, hogy nem monoton. Ilyenkor az `a_(n+1)-a_n` vizsgálata nem adna eredményt, hisz nem is monoton a sorozat.

Szóval úgy kell kezdeni, hogy megnézed kicsi `n`-ekre, hogy mit csinál a sorozat. Ha úgy látod, hogy monoton nő vagy csökken, akkor bebizonyítod mondjuk a kivonásos módszerrel. Ha meg azt látod, hogy nem monoton, akkor azt kell valahogy bebizonyítani.

`bb"> amikor kivonod az n. tagot az n+1-ből, akkor közös nevezőre hozod a kettőt"`
Persze, mehet úgy, de nem mindig ad szép eredményt.

`bb"> Nem tudom, hogy például egy 3^(2n)*(3*3^(n) + 4) mivel egyenlő? "`
`3^(2n)·3^n` egyenlő `3^(3n)`-nel, szóval a teljes szorzat kifejtve `3·3^(3n)+4·3^(2n)`.

Megpróbálom a közös nevezőt végigcsinálni:
`a_(n+1)-a_n=((9·3^(2n))(3^n+4) - 3^(2n)(3·3^n+4))/((3·3^n+4)(3^n+4))`
`=(9·3^(3n)+36·3^(2n) - 3·3^(3n)-4·3^(2n))/((3·3^n+4)(3^n+4))`
`=(6·3^(3n)+32·3^(2n))/((3·3^n+4)(3^n+4))`
Nem lesz ennél szebb, de nem is muszáj tovább próbálkozni; az egyértelmű, hogy itt a számláló is meg a nevező is pozitív, tehát `a_(n+1)-a_n>0`.

Ezt csak azért írom most, hogy láss ilyet is, de ha nem akarod, ne gondolj bele komolyan. Majd egyetemista korodban kell ilyen is:

Van olyan módszer is, hogy nem kell pontosan végigszámolni mondjuk a kivonásosat, csak azt kell belátni, hogy mondjuk pozitív.
`a_(n+1)-a_n = (9·3^(2n))/(3·3^n+4)-(3^(2n))/(3^n+4)`
Tudjuk (mert ránézésre rájöttünk, vagy hasonló), hogy a sorozat monoton nő, tehát a különbség pozitív, csak be kellene bizonyítani. Ha csinálunk ebből a különbségből egy kisebbet és arról be tudjuk látni, hogy még mindig pozitív, akkor az eredeti is pozitív.
Ebből mondjuk úgy tudunk kisebbet csinálni, hogy az első tag nevezőjét nagyobbra változtatjuk: azt pedig úgy érdemes megtenni, hogy utána könnyebben lehessen összevonni a második taggal:
`a_(n+1)-a_n = (9·3^(2n))/(3·3^n+4)-(3^(2n))/(3^n+4) > (9·3^(2n))/(3·3^n+12)-(3^(2n))/(3^n+4) =`
`= (9·3^(2n))/(3·(3^n+4))-(3^(2n))/(3^n+4) = (3·3^(2n))/(3^n+4)-(3^(2n))/(3^n+4) =`
`=(2·3^(2n))/(3^n+4) > 0`
Kész.