9.a) Pontosan 2 páros.

Először találjuk ki, hogy az ötjegyű szám számjegyei közül melyik kettő lesz a páros (a maradék három pedig páratlan). Ennek `((5),(2))` lehetősége van.
Ami így kijött két pozíció, oda tegyünk egy-egy páros számot, amiket a {2;4;6} közül választhatunk, ennek 3·3 lehetősége van.
A három maradék számjegy pedig páratlan: {1;3;5;7}-ből jöhetnek, ez 4·4·4 lehetőség.
Vagyis összesen `((5),(2))·3^2·4^3`

9.b) Legalább 2 páros.

Amik nem jók, azok a csupa páratlan, valamint az 1 párosat tartalmazó számok. Ha azok számát kivonjuk az összes lehetséges ötjegyű szám számából, megvan a megoldás.

Összes lehetséges szám, ha nincs kikötés: `7·7·7·7·7 = 7^5`, hisz mind az öt számjegy lehet bármelyik hét.

Csupa páratlan: `4^5` lehetőség
Egyetlen páros: 5 helyen állhat a 3-féle páros szám valamelyike, a maradék négy helyen pedig `4^4`-féle állhat.

Vagyis a válasz: `7^5-(4^5+5·3·4^4)`

11)
Persze, a legsimább ez: 1-2-3-4-5
Hát itt nem fogok rajzolgatni, de mondjuk lehet ilyen is:
1-2-3-4
    |
   5
Meg ilyen is:
   1
    |
2-3-4
    |
   5

Meg is van a 3.

14)
Ismeretség alatt bizonyára azt kell érteni, hogy mondjuk A és B ismerik egymást. Ez tehát egy ismeretség.

Na most ha B ismeri A-t, akkor A is ismeri B-t, és ez a kettő csak egy ismeretségnek számít. Erre az oda-vissza dologra vigyázni kell majd.

5 ember van, mindenki ismer 4 másikat (saját magát nem nevezzük ismeretségnek). Ez elvileg 5·4, de az oda-vissza dolgok miatt ennek csak a fele lesz: 10.

15) fokszámok: 1,1,2,3,4,5
Nem lehet ilyen egyszerű gráfot rajzolni.
Ugyanis az egyik csúcs 5-fokú, abból a maradék 5-be megy él. Azok közül kettő lesz 1-fokú, azoknak már meg is van az egy szem foka, azokat már nem lehet felhasználni további élekhez. Marad tehát 4 csúcs, az meg kevés ahhoz, hogy 4-fokú legyen egy csúcs.

Olyan gráfot viszont lehet rajzolni, amiben van párhuzamos él.
Mondjuk ez:
Rajzolj fel 6 pontot egy körben, A,B,C,D,E,F
A-ból húzz 5 élet a többiekbe.
B és C lesznek az 1-fokúak.
D-ből húzz két párhuzamos élet E-be, ezzel D lesz a 3-fokú
E-ből húzz még egy élet F-be, ezzel F már 4-fokú
F pedig 2-fokú lett így.
Kész.

17) számok: 0,1,2,3,4,5
6-jegyű szám kell.

a) Mennyi lehet?
Első nem lehet 0, csak 5-féle.
Második már nulla is lehet, 6-féle
A többi is ugyanígy: 5·6·6·6·6·6 = 5·6⁵

b) van ismétlődés:
Vagyis van legalább 2 egyforma szám.
Egyszerűbb kiszámolni azt, amikor nincs két egyforma szám. Ez olyan, mint a számok permutációja, csak elől nem állhat a 0:
5·5·4·3·2·1 = 5·5!
Ezt kivonva a lehetséges számokból kijön a válasz: 5·6⁵-5·5!

c) nincs ismétlődés és osztható 4-gyel
Az utolsó 2 szám ilyen lehet (4-gyel osztható):
0-ra végződőek: 20, 40
2-re végződőek: 12, 32, 52
4-re végződőek: 24 (44 nem lehet, van benne ismétlődés)

Az első 4 számjegy pedig:
Ha az utolsó kettőben benne van a 0, akkor 4·3·2·1 = 4!
Ha az utolsó kettőben nincs benne a 0, akkor 3·3·2·1 = 3·3!

Vagyis:
2·4! + 4·3·3!