1. Huhh, biztos, hogy ez az? A wolfram durvát mond rá:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D(2x%2By%C2%B2)-2

Bocsánat, tényleg elírtam. A négyzet jel a zárójelen kívül van:

y'=(2x+y)²-2

Köszönöm a figyelem felhívást és a további válaszokat!

1) `y'=(2x+y)^2-2`
Legyen `u = 2x+y`
`u' = 2+y'` → `y'=u'-2`
Vagyis ez lett a diffegyenlet:
`u'-2 = u^2-2`
`u' = u^2`
`int 1/u^2 du = int dx`
`-1/u = x + c`
`-1/(2x+y) = x+c`
`-1/(x+c) = 2x+y`
`y = -1/(x+c) - 2x`

Az ellenőrzést rád bízom.

2) `xy' '-y'=x^2`
A homogén diffegyenlet ez lenne:
`xy' '-y'=0`
`y' '=(y')/x`
Legyen `u=y'`, ami azt is jelenti, hogy `u' = y' '` (és majd `y=int u dx + c`)
Az egyenletünk most:
`u' = u/x`
Ami sima eset: `u = c·x`, de kicsit hosszabban is kijön (szétválasztva):
`int 1/u du = int 1/x dx`
`ln u = ln x + c`
`u = c_1·x`
Vissza y-ra:
`y=int u dx + c`
`y=int c_1 x dx + c`
Vagyis a homogén egyenlet általános megoldása:
`y_h = c_2 x^2 + c`

És most az inhomogén: Az inhomogén rész az `x^2`, de maga a homogén egyenlet megoldásában is van `x^2`, ezért legyen a próbafüggvény `y_p=A*x^3`.
A deriváltjai:
`y_p' = 3A*x^2`
`y_p' ' = 6A*x`
Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:
`xy_p' '-y_p'=x^2`
`x*6Ax-3Ax^2=x^2`
`3Ax^2=x^2`
`A = 1/3`
Vagyis az egyenlet egy partikuláris megoldása ez: `y_p = x^3/3`

Az általános megoldás pedig:
`y = y_h+y_p = c_2 x^2 + c + x^3/3`

Még a peremfeltételek kellenek: `y'(1)=1/2` és `y(0)=1`
Ezt már rád bízom...

Hmm, lehet, hogy lesznek lentebb hibák, mert a '' kettős deriválás jelét az ehazi hajlamos kidobni... szóval ha valahol nincs ott ilyen, de szerinted kell legyen, akkor neked lehet igazad

3) `y''+2y=2y'+x`
Homogénné tesszük először:
`y''-2y'+2y= 0`
Ez `e^(λx)` jellegű lesz. A karakterisztikus egyenlet ez:
`λ^2 - 2λ + 2 = 0`
aminek a gyökei `λ_12 = 1 +- i`
Mivel `e^((1+-i)x)=e^x cos x +- i e^x sin x`, a valós és a képzetes rész is jó megoldás, meg persze ezek lineáris kombinációja. Így a homogén általános megoldás ez:
`y_h = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x`

Az inhomogén rész az `x`, amihez `y_p=A*x+B` a próbafüggvény:
`y_p' = A`
`y_p'' = 0`
Behelyettesítve:
`y_p''+2y_p=2y_p'+x`
`2Ax+2B = 2A+x`
`(2A-1)x+2(B-A) = 0`
Ami azt jelenti, hogy az x-es és konstans tag is 0: `2A=1` és `B=A`, tehát `A=B=1/2`.
Így a partikuláris megoldás:
`y_p = x/2+1/2`

Az inhomogén általános megoldás:
`y = y_h + y_p = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x + x/2+1/2`