Processing math: 70%

Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Másod és elsőfokú differenciál egyenletek?

468
Sziasztok! Az alábbi 3 differenciál egyenletet megtudná nekem valaki oldani?

1. y'=(2x+y²)-2 ---> ellenőrzéssel

2. xy"-y'=x² ha y'(1)=1/2 és y(0)=1

3. y"+2y=2y'+x
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differencál, egyenlet
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

5
1. Huhh, biztos, hogy ez az? A wolfram durvát mond rá:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D(2x%2By%C2%B2)-2
0

Bocsánat, tényleg elírtam. A négyzet jel a zárójelen kívül van:

y'=(2x+y)²-2

Köszönöm a figyelem felhívást és a további válaszokat!
0

1) y=(2x+y)2-2
Legyen u=2x+y
u=2+yy=u-2
Vagyis ez lett a diffegyenlet:
u-2=u2-2
u=u2
1u2du=dx
-1u=x+c
-12x+y=x+c
-1x+c=2x+y
y=-1x+c-2x

Az ellenőrzést rád bízom.
Módosítva: 7 éve
0

2) xy-y=x2
A homogén diffegyenlet ez lenne:
xy-y=0
y=yx
Legyen u=y, ami azt is jelenti, hogy u=y (és majd y=udx+c)
Az egyenletünk most:
u=ux
Ami sima eset: u=c·x, de kicsit hosszabban is kijön (szétválasztva):
1udu=1xdx
lnu=lnx+c
u=c1·x
Vissza y-ra:
y=udx+c
y=c1xdx+c
Vagyis a homogén egyenlet általános megoldása:
yh=c2x2+c

És most az inhomogén: Az inhomogén rész az x2, de maga a homogén egyenlet megoldásában is van x2, ezért legyen a próbafüggvény yp=Ax3.
A deriváltjai:
yp=3Ax2
yp=6Ax
Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:
xyp-yp=x2
x6Ax-3Ax2=x2
3Ax2=x2
A=13
Vagyis az egyenlet egy partikuláris megoldása ez: yp=x33

Az általános megoldás pedig:
y=yh+yp=c2x2+c+x33

Még a peremfeltételek kellenek: y(1)=12 és y(0)=1
Ezt már rád bízom...
Módosítva: 7 éve
0

Hmm, lehet, hogy lesznek lentebb hibák, mert a '' kettős deriválás jelét az ehazi hajlamos kidobni... szóval ha valahol nincs ott ilyen, de szerinted kell legyen, akkor neked lehet igazad :)

3) y+2y=2y+x
Homogénné tesszük először:
y-2y+2y=0
Ez eλ jellegű lesz. A karakterisztikus egyenlet ez:
λ^2 - 2λ + 2 = 0
aminek a gyökei λ_12 = 1 +- i
Mivel e^((1+-i)x)=e^x cos x +- i e^x sin x, a valós és a képzetes rész is jó megoldás, meg persze ezek lineáris kombinációja. Így a homogén általános megoldás ez:
y_h = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x

Az inhomogén rész az x, amihez y_p=A*x+B a próbafüggvény:
y_p' = A
y_p'' = 0
Behelyettesítve:
y_p''+2y_p=2y_p'+x
2Ax+2B = 2A+x
(2A-1)x+2(B-A) = 0
Ami azt jelenti, hogy az x-es és konstans tag is 0: 2A=1 és B=A, tehát A=B=1/2.
Így a partikuláris megoldás:
y_p = x/2+1/2

Az inhomogén általános megoldás:
y = y_h + y_p = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x + x/2+1/2
Módosítva: 7 éve
0