Question

Másod és elsőfokú differenciál egyenletek?

Pityerkőc kérdése

469 7 éve

Sziasztok! Az alábbi 3 differenciál egyenletet megtudná nekem valaki oldani?

1. y'=(2x+y²)-2 ---> ellenőrzéssel

2. xy"-y'=x² ha y'(1)=1/2 és y(0)=1

3. y"+2y=2y'+x

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differencál, egyenlet

0

Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

5

**bongolo** { } válasza · Answer 1 · 2017-09-25 18:12:36

bongolo { Aranyérmes

} válasza

7 éve

1. Huhh, biztos, hogy ez az? A wolfram durvát mond rá:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D(2x%2By%C2%B2)-2

0

**Pityerkőc** válasza · Answer 2 · 2017-09-25 18:18:33

Pityerkőc válasza

7 éve

Bocsánat, tényleg elírtam. A négyzet jel a zárójelen kívül van:

y'=(2x+y)²-2

Köszönöm a figyelem felhívást és a további válaszokat!

0

**bongolo** { } válasza · Answer 3 · 2017-09-25 23:33:23

1)

$y'=(2x+y)^2-2$
Legyen

$u = 2x+y$

$u' = 2+y'$ →

$y'=u'-2$
Vagyis ez lett a diffegyenlet:

$u'-2 = u^2-2$

$u' = u^2$

$int 1/u^2 du = int dx$

$-1/u = x + c$

$-1/(2x+y) = x+c$

$-1/(x+c) = 2x+y$

$y = -1/(x+c) - 2x$

Az ellenőrzést rád bízom.

**bongolo** { } válasza · Answer 4 · 2017-09-26 00:14:12

2)

$xy' '-y'=x^2$
A homogén diffegyenlet ez lenne:

$xy' '-y'=0$

$y' '=(y')/x$
Legyen

$u=y'$ , ami azt is jelenti, hogy

$u' = y' '$ (és majd

$y=int u dx + c$ )
Az egyenletünk most:

$u' = u/x$
Ami sima eset:

$u = c·x$ , de kicsit hosszabban is kijön (szétválasztva):

$int 1/u du = int 1/x dx$

$ln u = ln x + c$

$u = c_1·x$
Vissza y-ra:

$y=int u dx + c$

$y=int c_1 x dx + c$
Vagyis a homogén egyenlet általános megoldása:

$y_h = c_2 x^2 + c$

És most az inhomogén: Az inhomogén rész az

$x^2$ , de maga a homogén egyenlet megoldásában is van

$x^2$ , ezért legyen a próbafüggvény

$y_p=A*x^3$ .
A deriváltjai:

$y_p' = 3A*x^2$

$y_p' ' = 6A*x$
Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:

$xy_p' '-y_p'=x^2$

$x*6Ax-3Ax^2=x^2$

$3Ax^2=x^2$

$A = 1/3$
Vagyis az egyenlet egy partikuláris megoldása ez:

$y_p = x^3/3$

Az általános megoldás pedig:

$y = y_h+y_p = c_2 x^2 + c + x^3/3$

Még a peremfeltételek kellenek:

$y'(1)=1/2$ és

$y(0)=1$
Ezt már rád bízom...

**bongolo** { } válasza · Answer 5 · 2017-09-26 00:39:04

Hmm, lehet, hogy lesznek lentebb hibák, mert a '' kettős deriválás jelét az ehazi hajlamos kidobni... szóval ha valahol nincs ott ilyen, de szerinted kell legyen, akkor neked lehet igazad

3)

$y''+2y=2y'+x$
Homogénné tesszük először:

$y''-2y'+2y= 0$
Ez

$e^(λx)$ jellegű lesz. A karakterisztikus egyenlet ez:

$λ^2 - 2λ + 2 = 0$
aminek a gyökei

$λ_12 = 1 +- i$
Mivel

$e^((1+-i)x)=e^x cos x +- i e^x sin x$ , a valós és a képzetes rész is jó megoldás, meg persze ezek lineáris kombinációja. Így a homogén általános megoldás ez:

$y_h = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x$

Az inhomogén rész az

$x$ , amihez

$y_p=A*x+B$ a próbafüggvény:

$y_p' = A$

$y_p'' = 0$
Behelyettesítve:

$y_p''+2y_p=2y_p'+x$

$2Ax+2B = 2A+x$

$(2A-1)x+2(B-A) = 0$
Ami azt jelenti, hogy az x-es és konstans tag is 0:

$2A=1$ és

$B=A$ , tehát

$A=B=1/2$ .
Így a partikuláris megoldás:

$y_p = x/2+1/2$

Az inhomogén általános megoldás:

$y = y_h + y_p = c_1 e^x cos x + c_2 e^x sin x + x/2+1/2$

Keresés

Toplista

Másod és elsőfokú differenciál egyenletek?

Válaszok