a) négyzetgyök(x^2 + 5x + 1) = 2x -1

1. Emeld négyzetre mindkét oldalt!

x^2 + 5x + 1 = (2x -1)^2

2. A jobb oldalt nevezetes azonossággal ki lehet fejteni.

x^2 + 5x + 1 = 4x^2 -4x +1

3. Rendezd egy oldalra a tagokat!

0 = 3x^2 - 9x

4. Ebből ki lehet emelni 3x-et.

0 = 3x*(x - 3)

5. Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Tehát
- vagy 3x = 0 --> x=0
- vagy x-3 = 0 --> x = 3.

6. Ellenőrzés (fontos!).
- ha x=3 : négyzetgyök(25) = 5 = 6-1 --> ez oké.
- ha x=0 : négyzetgyök(1) = 1, viszont a jobb oldal 0-1=-1.
Tehát az x=0-val hamis gyököt kaptunk, mert a négyzetre emelés (1. lépés) nem ekvivalens átalakítás.


--------------------------------------------------------------------------------------------
b) négyzetgyök(9+x) + négyzetgyök(25-x) = 2

1. Emeld négyzetre!

(négyzetgyök(9+x) + négyzetgyök(25-x))^2 = 2^2

2. A bal oldal nevezetes azonossággal kifejthető: (a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2 . Itt most a= négyzetgyök(9+x), és b = négyzetgyök(25-x).

(9+x) + 2* négyzetgyök(9+x) * négyzetgyök(25-x) + (25-x) = 4

3. A négyzetgyökök szorzata összevonható.

9 + x + 2* négyzetgyök[(9+x)*(25-x)] + 25 - x = 4

4. Szerencsére a +x és -x tagok kiejtik egymást bal oldalon. A többit rendezd jobb oldalra, hogy bal oldalon már ne összeg, hanem csak egy négyzetgyök (többszöröse) maradjon!

2* négyzetgyök[(9+x)*(25-x)] = -30

5. Emeld négyzetre!

4* [(9+x)*(25-x)] = 900

6. Oszd el néggyel, majd fejtsd ki a zárójelben lévő szorzatot!

225 + 16 x - x^2 = 225

7. Rendezd 0-ra!

0 = x^2 -16x

8. Kiemelhető x:

0 = x * (x-16)

9. Szorzat akkor nulla, ha valamely tényezője nulla. Tehát:
- vagy x=0
- vagy x-16=0 --> x=16.

10. Ellenőrzés!
- ha x=16: négyzetgyök(25) + négyzetgyök(9) = 5 + 3 = 8 =/=2 , tehát ez hamis gyök.
- ha x=0: négyzetgyök(9) + négyzetgyök(25) = 3 + 5 = 8 =/=2, tehát ez is hamis gyök.
A bal oldalon szereplő függvénynek ezek szerint nem tud 2 lenni az értéke.
Erre a linkre kattintva láthatod a bal oldalon szereplő kifejezés ábrázolását: http://www.wolframalpha.com/input/?i=real+plot+(9%2Bx)%5E0.5+%2B+(25-x)%5E0.5+,+x%3D-80,+100 . (Sosem ér le 2-höz.)