Egy szám osztóit úgy határozhatjuk meg, hogy prímtényezős alakban felírjuk, a prímtényezők kitevőihez hozzáadunk egyet, és az így kapott számokat összeszorozzuk, ekkor a szám osztóinak számát kapjuk meg, például:


35-nek 4 osztója van: 1;5;7;35, prímtényezős felbontása


5^1*7^1, a kitevőkhöz hozzáadunk 1-et, majd összeszorozzuk: (1+1)*(1+1)=2*2=4, tehát 4 osztója van, és tényleg annyi van.


Vagy vegyük a 60-at; osztói: 1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60, ez összesen 12 darab osztó (milyen szerencse, hogy egyet találtunk ). A 60 prímtényezős felbontása 2^2*3^1*5^1, a fenti megállapítás alapján (2+1)*(1+1)*(1+1)=3*2*2=12 osztója van.


Tehát olyan prímfelbontású számokat keresünk, ahol a kitevőkhöz 1-et hozzáadva majd azokat összeszorozva 12-t kapunk.


Ezek a következő esetek:


1. eset: 1 prímszám 11. hatványából áll a szám. Ez az eset azért nem nyerő, mert ha a legkisebb prímszámot emeljük 11. hatványra, már akkor is egy négyjegyű számhoz jutunk: 2^11=2048 (igaz ennek 12 osztója van).


2. eset: 2 prímszámból áll, ekkor az egyik prímszámnak 2., a másiknak 3. hatványon kell szerepelnie, mivel ekkor (2+1)*(3+1)=3*4=12 lesz.


Érdemes megint a legkisebb prímszámmal kezdeni a sort:


Ha a szám felosztásában 2^2 szerepel, akkor x prímre 2^2*x^3<100 teljesülnie kell (mivel csak a kétjegyű számokkal számolunk), egyenletrendezés után x<köbgyök(25)=~2,9, vagyis x értéke csak 2 lehet, ekkor a szám, amit kaptunk 2^2*2^3=2^5, de ez viszont azért nem jó, mert így a számnak csak 5+1=6 osztója lesz (ellenőrizhető, hogy a 32-nek csak 6 osztója van; 1;2;4;8;16;32). Most legyen 3^2 a prímtényezős felosztásban, ekkor 3^2*x^3<100, vagyis x^3<~11,11, vagyis x<köbgyök(11,11)=~2,2, így x=2 jöhet csak számításba, így a 3^2*2^3=72 számhoz jutunk (ellenőrizhető, hogy hány osztója van). Következő prímszámunk az 5, így 5^2*x^3 alakú számokra vadászhatunk: 5^2*x^3<0, x^3<4, x<köbgyök(4)=~1,6, ennél kisebb prímszám nem létezik. Ebben az esetben nagyobb prímszámmal már nem érdemes foglalkozni.


3. eset: 3 prímszámból áll a szám, ez akkor lehet, ha a prímtényezőkben 2, 1 és 1 van, mert így (2+1)*(1+1)*(1+1)=3*2*2=12 teljesül. Első körben 2^2*x*y alakú a szám, így 2^2*x*y<100, vagyis x*y<25. Az első esetben mát láttuk, hogy nem érdemes olyannal foglalkozni, amikor az ismeretlen egyenlő a megadott számmal, itt sincs másképp, tehát x és y értéke 2-től és egymástól különböző. Olyan prímpáros kell, aminek a szorzata kisebb 25-nél. Ezek a lehetőségek: 3*5(=15), 3*7(=21), tehát a számaink:


2^2*3*5=60

2^2*3*7=84


A következő 3^2, vagyis 3^2*x*y<100, vagyis x*y<11,11, ezekből egyik sem lehet 3-as, de egymással egyenlők sem lehetnek. 1 eset lehet: 2*5, így a szám: 2*3^2*5=90.


A következő jelölt az 5^2: 5^2*x*y<100, vagyis x*y<4, ennek pedig nincs jó megoldása.


4. eset: 4 prímszámból áll, de erre nem tudunk esetet felírni.


5. eset: 5 prímszámból áll, de ezzel se tudunk mit kezdeni.


6. eset: 6 prímszámból áll, ekkor az összes 1. hatványon van. A legkisebb ilyen is nagyobb 100-nál; 2*3*5*7*11*13=2310.


Több eset nincs.


Tehát a számok összege: 72+60+84+90=306.