Magát az integrálást kétféleképpen is meglehetne oldani. Az egyik amikor Descartes-koordinátákra térve (az `x=r*cos varphi` és `y=r*sin varphi` transzformációs képletet felhasználva) integrálunk, ami a tulajdonképpeni feladat. És még van egy transzformációs képlet
magára a kettős integrálra, aminek általánosabb alakja ez volna:
`int int_(Omega') f(r*cos varphi, r*sin varphi)r dr dvarphi=int int_Omega f(x,y) dx dy`. Itt `f(x,y)=1`, de mi az `Omega'` és `Omega` tartományok közötti transzformáció, ezt kellene még kitalálni! Kérnék az első megoldáshoz még egy kis időt. (Sajnos a felsőfokú zsebkönyvek és tankönyvek egy jelentős része leírja magát a képletet és a hozzá tartozó magyarázat egyik felét, a másik felét meg elhallgatja.)

A másik egy direktebb út. Írd át a `varphi`-t `x`-re és a `r`-t `y`-ra. És akkor egy neked tetsző kettős integrálra jutsz. Vigyázz! Ne zavarjon meg az, hogy ez is `x` és `y,` mert ezeket másképpen kell itt értelmezni, mint az első megoldás során. Ezzel viszont ellenőrizheted majd az első megoldásodat. Folytatva a megoldást először az `Omega'` integrálási tartományt határozzuk meg, amelyet három egyenes szakasz (`x=pi/6`, `y=0` és `x=pi/3`) és egy görbe ív `y=frac{2*(sqrt(3)+1)}{sin(x)+cos(x)}` határol. A differenciálszámítás eszközeivel meghatározható, hogy a görbe alulról konvex és a "belógása" `0,12` környékén van. Az `Omega'` tartomány konvex burkának sarokpontjai: `A'(pi/6`, `0)`, `B'(pi/3`, `0)`, `C'(pi/3`, `4)` és `D'(pi/6`, `4)`, ami egy téglalaphoz hasonlítható tartományt határoz meg. Ami kölcsönösen egyértelműen leképződik az `Omega` tartományra, amelynek sarokpontjai: `A(0`, `0)`, `B(0`, `0)`, `C(2*sqrt(3)`, `2)` és `D(2`, `2*sqrt(3))`. A számolás során visszatérünk a polárkoordinátákra és a fenti (lásd a második sort) transzformációt alkalmazzuk. Ez pedig egy háromszöget határoz meg.

Ezután kiszámítjuk a megadott kettős integrál értékét. A belső integrál `varphi`-től függ:
`int_0^(frac{2*(sqrt(3)+1)}{sin(varphi)+cos(varphi)})r*dr=frac{4*(sqrt(3)+2)}{(sin(varphi)+cos(varphi))^2}`. A külső integrál értéke egy természetes szám lesz, mert
`int_(pi/6)^(pi/3)frac{4*(sqrt(3)+2)}{(sin(varphi)+cos(varphi))^2} dvarphi``=[frac{-4*(sqrt(3)+2)*cos(varphi)}{sin(varphi)+cos(varphi)}]_(pi/6)^(pi/3)=4`.

Ezután veszem elő a negyedik sorban leírt integráltranszformációt és annak jobb oldalán található kettős integrál kiszámításához kezdek hozzá. Az `Omega` háromszögtartmány határoló egyeneseinek az egyenletei felsorolás szerűen leírva: `sqrt(3)*x`, `frac{x}{sqrt(3)}` és `2*(sqrt(3)+1)-x`. Ezt pedig a tanult módszerekkel két normáltartományra bontom az `x=0`, `x=2` és `x=2*sqrt(3)` egyenesek mentén. Legyen tehát az `Omega=Omega_1 cup Omega_2`, ahol `Omega_1`-et az `A(0`, `0)`, `F(2`, `frac{2}{sqrt(3)})`, `D(2`, `2*sqrt(3))` csúcspontok, valamint `Omega_2`-öt az `F(2`, `frac{2}{sqrt(3)})`, `C(2*sqrt(3)`, `2)`, `D(2`, `2*sqrt(3))` csúcspontok határoznak meg. Az `Omega_1` tartományhoz tartozó integrál így néz ki:
`int_0^2 (int_(frac{x}{sqrt(3)})^(sqrt(3)*x) dy)dx=frac{4*sqrt(3)}{3}`. Az `Omega_2` tartományhoz tartozó integrál értéke: `int_2^(2*sqrt(3)) (int_(frac{x}{sqrt(3)})^(2*sqrt(3)+2-x) dy)dx=4-frac{4*sqrt(3)}{3}`. A két valós szám összege újból 4-et eredményez.

Hálás köszönetem