Mátrixok

Az ilyen feladatokat Gauss-eliminációval szokás megcsinálni; először felírunk egy bővített mátrixot az együtthatókból:

[ 1 -1 2 | 5 ]
[ 2 -2 1 | 1 ]
[ 3 -2 7 | 20 ]

Arra hajtunk, hogy a bal oldalon minden sorban és minden oszlopban pontosan egy 0-tól különböző szám legyen (a legjobb, ha 1-esek). Amit szabad tenni:

-cserélgetni a sorokat és az oszlopokat (itt felesleges)
-0-tól különböző számmal szorozni és osztani soronként
-komplett sorokat kivonni egymásból

Az egyetemen úgy szokták tanítani, hogy valamelyik sorban kiválasztunk bal oldalról egy 1-est (ha nincs 1-es, akkor valamelyik sort végigosztjuk valamelyik számmal, hogy legyen), majd ennek megfelelő számszorosát kivonjuk a többi sorból (ezt azt jelenti, hogy a kiválasztott 1-es oszlopában csupa 0 kell, hogy legyen). Ezzel a fajta számolással csak annyi a probléma, hogy nagyon gyakran törtszámok jönnek elő, ami nem kellemes. Ami ennél sokkal egyszerűbb, hogy az egyenlő együtthatók módszerét használjuk, amit már a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernél megtanultunk, tehát:

Válasszunk ki egy számot a bal oldalról:

[ (1) -1 2 | 5 ]
[ 2 -2 1 | 1 ]
[ 3 -2 7 | 20 ]

Mindegyik egyenletet úgy szorozzuk egy 0-tól különböző számmal, hogy a kiválasztott szám oszlopában minden szám ugyanolyan legyen. Kézenfekvő, hogy 6-osra változtatunk, ekkor az első sort 6-tal, a másodikat 3-mal, a harmadikat 2-vel szorozzuk:

[ (6) -6 12 | 30 ]
[ 6 -6 3 | 3 ]
[ 6 -4 14 | 40 ]

A következő lépésben az első sor számait kivonjuk a többi sor számaiból, oszloponként, az első sor ugyanúgy marad:

[ (6) -6 12 | 30 ]
[ 0 0 -9 | -27 ]
[ 0 2 2 | 10 ]

A következő lépésben megint kiválasztunk egy számot, de az előzővel nem lehet azonos sorban vagy oszlopban. Legyen a jobb alsó 2-es:

[ (6) -6 12 | 30 ]
[ 0 0 -9 | -27 ]
[ 0 2 (2) | 10 ]

A legkisebb pozitív szám, amit a 12-ből, a (-9)-ből és a 2-ből ki tudunk hozni, az a 36, ezért az első sor számait szorozzuk 3-mal, a másodikét (-4)-gyel, a harmadikét 18-cal:

[ (18) -18 36 | 90 ]
[ 0 0 36 | 108 ]
[ 0 36 (36) | 180 ]

Ezután újra kivonunk, az utolsó sor változatlan marad:

[ (18) -54 0 | -90 ]
[ 0 -36 0 | -72 ]
[ 0 36 (36) | 180 ]

Kizárásos alapon az utolsó szám a középső (-36)-os lehet csak. Érdemes észrevenni, hogy soronként tudunk osztani úgy, hogy minden tag egész marad; az elsőben 18-cal, a másodikban (-36)-tal, a harmadikban 36-tal:

[ (1) -3 0 | -5 ]
[ 0 (1) 0 | 2 ]
[ 0 1 (1) | 5 ]

Ezzel kaptunk egy egyszerűbb alakot, és azt látjuk, hogy a középső oszlopot 3-ra tudjuk kihozni:

[ (-1) 3 0 | 5 ]
[ 0 (3) 0 | 6 ]
[ 0 3 (3) | 15 ], kivonás után:

[ (-1) 0 0 | -1 ]
[ 0 (3) 0 | 6 ]
[ 0 0 (3) | 9 ], végül soronként osztunk úgy, hogy a bal oldalon 1-esek és 0-k legyenek:

[ (1) 0 0 | 1 ]
[ 0 (1) 0 | 2 ]
[ 0 0 (1) | 3 ]

A mátric visszafejthető egyenletrendszerré:

1*x₁ + 0*x₂ + 0*x₃ = 1
0*x₁ + 1*x₂ + 0*x₃ = 2
0*x₁ + 0*x₂ + 1*x₃ = 3, magyarul:

x₁=1, x₂=2, x₃=3

A többit ugyanígy meg lehet oldani.

Ennek az egyenletrendszernek konkrét megoldása volt, tehát minden ismeretlen pontosan 1 értéket vehet fel. Ezen kívül 3 szélsőséges eset történhet:

1. Nullsor, tehát valamelyik sorban minden szám 0 lett, ez majd azt fogja eredményezni, hogy bizonyos ismeretlenek nem konkrét értékeket vehetnek fel, hanem az egyik a másik függvényében fejezhető csak ki.
2. Nulloszlop, tehát valamelyik, a vonaltól balra eső oszlopban csupa 0 lesz, ez majd azt fogja jelenteni, hogy attól az ismeretlentől, amelyiknek az oszlopa kinullázódott, attól nem fog függni az egyenletrendszer megoldása, vagyis az bármilen számot felvehet,
3. Tilos sor: a bal oldal egyik sorában a vonaltól balra csak 0 van, a vonal jobb oldalán pedig egy 0-tól különböző szám. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy ha például 0 0 0 | 5 jönne ki, hogy 0=5, ami értelemszerűen nem lehetséges, ebben az esetben nincs megoldása az egyenletrendszernek.