Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

SOS!!! SOS EGYETEMI MATEK DERIVÁLÁS

259
Valaki meg tudná ezt nekem oldani? Nagyon sürgős lenne :(
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matek, SOS, Egyetem, Egyetemi matek, Matematika, deriválás
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Ez kicsit több, mint "deriválás"
Ez differenciál egyenlet, ráadásul egy elsőrendű inhomogén diff egyenlet.

Nah de lássunk is neki! :)

Az általános formája egy ilyen típusú diff.egyenletnek:

`y'+p(x)*y=q(x)`

Rendezzük át úgy a mi egyenletünket, hogy betudjuk azonosítani a két függvényt, `p(x)`-et és `q(x)`-et.

`y'-1/x*y=x^2+1/x`

Ezek szerint `p(x)=-1/x`
és
`q(x)=x^2+1/x`

Hogyan oldunk meg egy inhomogén diff.egyenletet? Elsőnek is:
Megoldjuk a homogén egyenletet.
Ekkor megkapjuk a homogén egyenlet általános megoldását.
Ebben az alakban fogjuk keresni az inhomogén egyenlet megoldását,
azaz az előző egyenletből kijött általános megoldást szépen visszahelyettesítjük az eredeti diff. egyenletünkbe.
Végül meghatározzuk a konstans fügvényünket, egy utolsó visszahelyettesítés, és készen is vagyunk!

Easy, nem?

Nézzük:

A homogén egyenletünk azt jelenti, hogy úgy vesszük: `q(x)=0`
Ekkor a diff egyenlet:
`y'-1/x*y=0`
Ez már mindjárt babább!
Ez a diff egyenlet szeparálható. Mutatom:

`(dy)/(dx)-1/x*y=0`

`(dy)/(dx)=1/x*y`

`(dy)/y=(dx)/x`

Integráljuk mindkét oldalt!

`ln(|y|)=ln(|x|)+lnC`

`e`-re emelve megkapjuk, hogy:
`y=C*x`

Tehát `y_(h,á)=C(x)*x`

Ahol a h,á index azt jelenti, hogy homogén,általános megoldás. A konstans pedig x függvénye.

Tehát ilyen alakban keressük az inhomogén megoldást.
Hogy visszatudjuk írni ilyen formában az eredeti egyenletünkbe, kell `y_(h,á)` deriváltja is.

`y'_(h,á)=C'(x)*x+C(x)`

Ezt ugye a deriválási szabályokban megtalálod, hogy miért így jött ki (két függvény szorzatának deriváltját keresd)

`y_(h,á)` és `y'_(h,á)`-t felhasználva, visszahelyettesítünk az alap egyenletünkbe:

`C'(x)*x+C(x)-C(x)=x^2+1/x`
Tehát `C'(x)=x+1/x^2`
Ebből integrálással megkapjuk, hogy:
`C(x)=x^2/2-1/x+K`
ahol K az integrálási konstans.

Az általános megoldásunkba visszahelyettesítve:

`y(x)=C(x)*x`

`y(x)=(x^2/2-1/x+K)*x`

`y(x)=x^3/2+K*x-1`
0