Ez kicsit több, mint "deriválás"
Ez differenciál egyenlet, ráadásul egy elsőrendű inhomogén diff egyenlet.
Nah de lássunk is neki!
Az általános formája egy ilyen típusú diff.egyenletnek:
`y'+p(x)*y=q(x)`
Rendezzük át úgy a mi egyenletünket, hogy betudjuk azonosítani a két függvényt, `p(x)`-et és `q(x)`-et.
`y'-1/x*y=x^2+1/x`
Ezek szerint `p(x)=-1/x`
és
`q(x)=x^2+1/x`
Hogyan oldunk meg egy inhomogén diff.egyenletet? Elsőnek is:
Megoldjuk a homogén egyenletet.
Ekkor megkapjuk a homogén egyenlet általános megoldását.
Ebben az alakban fogjuk keresni az inhomogén egyenlet megoldását,
azaz az előző egyenletből kijött általános megoldást szépen visszahelyettesítjük az eredeti diff. egyenletünkbe.
Végül meghatározzuk a konstans fügvényünket, egy utolsó visszahelyettesítés, és készen is vagyunk!
Easy, nem?
Nézzük:
A homogén egyenletünk azt jelenti, hogy úgy vesszük: `q(x)=0`
Ekkor a diff egyenlet:
`y'-1/x*y=0`
Ez már mindjárt babább!
Ez a diff egyenlet szeparálható. Mutatom:
`(dy)/(dx)-1/x*y=0`
`(dy)/(dx)=1/x*y`
`(dy)/y=(dx)/x`
Integráljuk mindkét oldalt!
`ln(|y|)=ln(|x|)+lnC`
`e`-re emelve megkapjuk, hogy:
`y=C*x`
Tehát `y_(h,á)=C(x)*x`
Ahol a h,á index azt jelenti, hogy homogén,általános megoldás. A konstans pedig x függvénye.
Tehát ilyen alakban keressük az inhomogén megoldást.
Hogy visszatudjuk írni ilyen formában az eredeti egyenletünkbe, kell `y_(h,á)` deriváltja is.
`y'_(h,á)=C'(x)*x+C(x)`
Ezt ugye a deriválási szabályokban megtalálod, hogy miért így jött ki (két függvény szorzatának deriváltját keresd)
`y_(h,á)` és `y'_(h,á)`-t felhasználva, visszahelyettesítünk az alap egyenletünkbe:
`C'(x)*x+C(x)-C(x)=x^2+1/x`
Tehát `C'(x)=x+1/x^2`
Ebből integrálással megkapjuk, hogy:
`C(x)=x^2/2-1/x+K`
ahol K az integrálási konstans.
Az általános megoldásunkba visszahelyettesítve:
`y(x)=C(x)*x`
`y(x)=(x^2/2-1/x+K)*x`
`y(x)=x^3/2+K*x-1`