Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

SOS!!! SOS EGYETEMI MATEK DERIVÁLÁS

79
Valaki meg tudná ezt nekem oldani? Nagyon sürgős lenne :(
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matek, SOS, Egyetem, Egyetemi matek, Matematika, deriválás
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Ez kicsit több, mint "deriválás"
Ez differenciál egyenlet, ráadásul egy elsőrendű inhomogén diff egyenlet.

Nah de lássunk is neki!

Az általános formája egy ilyen típusú diff.egyenletnek:

`y'+p(x)*y=q(x)`

Rendezzük át úgy a mi egyenletünket, hogy betudjuk azonosítani a két függvényt, `p(x)`-et és `q(x)`-et.

`y'-1/x*y=x^2+1/x`

Ezek szerint `p(x)=-1/x`
és
`q(x)=x^2+1/x`

Hogyan oldunk meg egy inhomogén diff.egyenletet? Elsőnek is:
Megoldjuk a homogén egyenletet.
Ekkor megkapjuk a homogén egyenlet általános megoldását.
Ebben az alakban fogjuk keresni az inhomogén egyenlet megoldását,
azaz az előző egyenletből kijött általános megoldást szépen visszahelyettesítjük az eredeti diff. egyenletünkbe.
Végül meghatározzuk a konstans fügvényünket, egy utolsó visszahelyettesítés, és készen is vagyunk!

Easy, nem?

Nézzük:

A homogén egyenletünk azt jelenti, hogy úgy vesszük: `q(x)=0`
Ekkor a diff egyenlet:
`y'-1/x*y=0`
Ez már mindjárt babább!
Ez a diff egyenlet szeparálható. Mutatom:

`(dy)/(dx)-1/x*y=0`

`(dy)/(dx)=1/x*y`

`(dy)/y=(dx)/x`

Integráljuk mindkét oldalt!

`ln(|y|)=ln(|x|)+lnC`

`e`-re emelve megkapjuk, hogy:
`y=C*x`

Tehát `y_(h,á)=C(x)*x`

Ahol a h,á index azt jelenti, hogy homogén,általános megoldás. A konstans pedig x függvénye.

Tehát ilyen alakban keressük az inhomogén megoldást.
Hogy visszatudjuk írni ilyen formában az eredeti egyenletünkbe, kell `y_(h,á)` deriváltja is.

`y'_(h,á)=C'(x)*x+C(x)`

Ezt ugye a deriválási szabályokban megtalálod, hogy miért így jött ki (két függvény szorzatának deriváltját keresd)

`y_(h,á)` és `y'_(h,á)`-t felhasználva, visszahelyettesítünk az alap egyenletünkbe:

`C'(x)*x+C(x)-C(x)=x^2+1/x`
Tehát `C'(x)=x+1/x^2`
Ebből integrálással megkapjuk, hogy:
`C(x)=x^2/2-1/x+K`
ahol K az integrálási konstans.

Az általános megoldásunkba visszahelyettesítve:

`y(x)=C(x)*x`

`y(x)=(x^2/2-1/x+K)*x`

`y(x)=x^3/2+K*x-1`
0