Gauss után szabadon, írjuk le egymás alá a két összeget, de a második esetben fordítva:

1 + 5 + 9 + 13 + ... + 77 +81 + 85 + 89
89 + 85 + 81 + 77 + ... + 13 + 9 + 5 + 1

Most adjuk össze ezt a két összeget; azt vehetjük észre, hogy ha az egymás alatt álló tagokat adjuk össze, akkor mindig 90-et kapunk; 1+89=90, 5+85=90, 9+81=90, stb., tehát ezt az összeget kapjuk: 90 + 90 + 90 + 90 + ... + 90 + 90 + 90 + 90, már csak az a kérdés, hogy hány darab 90-esünk van. Látható, hogy a sorozat első tagja 1, és mindig 4-esével nő. Érdemes észrevenni, hogy mindegyik tag felírható úgy, hogy az 1-hez hozzáadunk valahány darab 4-est:

1 = 1
5 = 1+4
9 = 1+4+4
13 = 1+4+4+4
stb.

Már csak azt kell kideríteni, hogy hány darab 4-est kell hozzáadni az 1-hez, hogy 89-et kapjunk; 1+88=89, 88=22*4, tehát 22 darab 4-est adunk hozzá, tehát ebben a sorozatban 23 darab szám van, így a 90-ből is 23 darab van, így azok összege 23*90=2070. Ezzel még nincs vége; az összeadásnál minden tagot kétszer számoltunk bele (2 darab 1-es, 2 darab 5-ös, stb.), emiatt a tényleges összeg kétszeresét kaptuk, tehát osztanunk kell 2-vel, így 2070/2=1035 lesz a számok összege.