Az egyik is elég lenne, ha megmutatnátok

A végén lévő remélem ismerős, annak az e-hez van köze:
Az (n+2)/(n+5)-öt érdemes átalakítani ilyenre: 1 - 3/(n+5)
A kitevőt meg ilyenre: (3n-2) = 3·(n+5)-17
Ha most (n+5)/3 = k, akkor ilyenünk van:
(1 - 1/k)^(9k-17) = (1 - 1/k)^(9k) · (1 - 1/k)^(-17)
Aminek 1/e⁹ a határértéke a végtelenben. Ez ugye tiszta?

Az eleje nem ilyen tiszta. A gyökösök mindkettő végtelen, a különbségük nullához tart, ami szorozva van n-nel (n+1-gyel, de az mindegy), úgyhogy ebből könnyen lehet véges is. Jobban meg kell nézni.
3n⁴+n = 3·[(n²)² + n/3] ≈ 3·[n² + 1/(6n)]²
A körülbelül egyenlőt úgy értem, hogy a négyzetre-emelés után a kifejezés első két tagja pont megegyezik. Úgy, mint amikor teljes négyzetté kellet alakítani a gimiben. Amit elhagytam, az nagyon pici...
Ennek gyöke ≈ √3·[n² + 1/(6n)]
Ami ebből ki van vonva, az meg √3·n², az n⁴ mellett a konstans elhanyagolható.
Tehát a gyökök különbsége ≈ √3/(6n)
Ez van szorozva (n+1)-gyel, ami gyakorlatilag ugyanaz, mintha n-nel lenne szorozva.
Tehát a határérték √3/6

(Persze összesen √3/6 + 1/e⁹)

A másik teljesen hasonlóan oldható meg.

A második képen a végén megint valamilyen e hatvány lesz, próbáld kitalálni.
Mondjuk az a)-nak az eleje pedig:
A hatványokat kellene valami közösre hozni. A számláló:
5^n/5³ + 2·8^n + 27·9^n
A nevező:
8·8^n - 49·7^n
A legnagyobb alap 9, ezért osszuk a számlálót és a nevezőt is 9^n-nel. A számlálóból határértékben 27 lesz, az összes többi nullához tart (1-nél kisebb szám n-edik hatványa). A nevező pedig megint csak 1-nél kisebb számok n-edik hatványa, 0-hoz tart. Ezért a tört a végtelenhez tart.

Ha a nevezőben 8^(n+1) helyett 9^(n+1) lenne, akkor abból 9·9^n lesz, amiből 9^n-nel való osztás után 9 marad, tehát a teljes tört határértéke 27/9 = 3. Tud tehát véges is lenni!

A második képen a b) durvának látszik, de nem nehéz. A végén megint valamilyen e hatvány van, az eleje pedig:
A nagyságrendben n³ látszik a legnagyobbnak az egyes tagoknál, úgyhogy osszuk a számlálót és a nevezőt is n³-nel:
A számláló: 5 + √(1/n⁴ + 7/n⁵) + ∛(1/n - 2/n⁹)
ami határértékben 5, a többi ugyanis 0
A nevező: √(7 + 1/n⁶) + 3/n³
Ami határértékben √7, a többi 0.

Vagyis 5/√7