Sorozatok

4091. Az ilyen feladatoknál rendszerint érdemes felírni a tagokat a₁ és d függvényében:

a₃ = a₁ + 2d
a₈ = a₁ + 7d
a₂ = a₁ + d
a₁₁ = a₁ + 10d, tehát ezeket az egyenleteket kapjuk:

a₁+2d+a₁+7d=34
a₁+d+a₁+10d=46, összevonás után:

2a₁+9d=34
2a₁+11d=46

Mivel a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért ezek egyenletrendszert alkotnak, arra pedig tanultunk egy egyszerű megoldási módot, az egyenlő együtthatók módszerét; szerencsére itt most 2a₁ van, tehát nem kell alakítgatnunk, és kivonás után azok el is tűnnek, és marad:

2d=12, amire d=6 adódik. Ezt írjuk be mondjuk az első egyenletbe: 2a₁+9*6=34, amire a₁=-10 adódik, tehát a sorozat első tagja -10, differenciája 6.

Hogy megtudjuk, hogy tagja-e a 2012 a sorozatnak, az általános tagképletet kell használni:

an=a₁+(n-1)*d,ahol an helyére írjuk be a 2012-t:

2012=-10+(n-1)*6, erre 338=n adódik, tehát a 2012 tagja a sorozatnak, és a 338. tagja. Akkor nem lenne tagja, hogyha n-re nem pozitív egész jött volna ki.

4094. Gyakorlatilag ugyanaz a feladat, mint az előbb:

a₁+a₂+a₃=-9
a₃+a₄+a₅=39, átírjuk a tagokat:

a₁+a₁+d+a₁+2d=-9
a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d=39, összevonás után:

3a₁+3d=-9
3a₁+9d=39, kivonjuk egymásból az egyenleteket:

6d=48, amire d=8 adódik. Beírva az elsőbe: 3a₁+3*8=-9, erre a₁=-11, tehát a sorozat első tagja -11, differenciája 8.