Ez az egy egyenletrendszer kell csak

Inkább hatványok kitevőiről van szó, mint hatványokról. És zárójelezni is tudni kellene.
Tehát erről az e.r.-ről van szó:
`2*5^(x+1)-2^(y+1)=-6`. és
`3*5^(x+2)+2^(y-1)=19`.
Bevezetve az `a=5^x` és `b=2^y` új ismeretleneket
egy lineáris kétismeretlenes e.r.-t kapunk, amit már
tanultatok megoldani 9-10 osztály környékén.

Tehát kapjuk, hogy

`10a-2b+6=0` és
`3*25*a+b/2-19=0`
A második egyenletet átalakítva
`300*a+2b -76=0`
és a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy
`310*a-70=0`
`a=7/31` `=>` ` b=128/31`.

Ebből kapunk lét logaritmusos alakot:
`x=log_5 frac{7}{31}` és `y=log_2 frac{128}{31}`.

Ellenőrzés:

`2*5^(x+1)-2^(y+1)=2*5*5^(log_5 frac{7}{31})-2*2^(log_2 frac{128}{31})=`
a logaritmus egyik elnyelési tulajdonságát felhasználva kapjuk, hogy
`=10*frac{7}{31}-2*frac{128}{31}=frac{70-256}{31}=-frac{186}{31}=-6`.

`3*5^(x+2)+2^(y-1)=3*25*5^(log_5 frac{7}{31})+0,5*2^(log_2 frac{128}{31})=`
megint a logaritmus egyik elnyelési tulajdonságát felhasználva kapjuk, hogy
`=75*frac{7}{31}+0,5*frac{128}{31}=frac{525+64}{31}=19`.

Van egy sejtésem, hogy úgy zárójel nélkül szebb megoldása van
az e.r-nek. Feltételezve, hogy azok a kéttagú kifejezések nem tartoznak a hatványok
kitevőihez. Akkor erről az e.r.-ről van szó:
`2*5^x+1-2^y+1=-6`. és
`3*5^x+2+2^y-1=19`.

Összeadva a két egyenletet, kapjuk, hogy
`5*5^x=-8+18`
azaz `5^x=2` vagyis `x=log_5 2`
a megoldás első alakját visszahelyettesítve
az első egyenletbe kapjuk, hogy
`2*2+1-2^y+1=-6`, azaz `2^y=12` és `y=log_2 12`.

Ellenőrzés:

`2*5^x+1-2^y+1=2*5^(log_5 2)+1-2^(log_2 12)+1=2*2+1-12+1=-6`
`3*5^x+2+2^y-1=3*5^(log_5 2)+2+2^(log_2 12)-1=3*2+2+12-1=19`

Itt is alkalmazható a logaritmus egyik elnyelési tulajdonsága.

Itt erről van szó:
`a,b >0` esetén `a^(log_a b)=b`.

A gyengébbek kedvéért leírom a másik tulajdonságot is:
`a,b >0` esetén `log_a a^b=b`.

Sőt, ha csak 1-2 előjelet megváltoztatunk, akkor egész számok jönnek ki megoldásnak:

`-2*5^(x+1)-2^(y+1)=-6`

`3*5^(x+2)+2^(y+1)=19`

`-10a-2*b=-6`

`75a+2*b = 19`

65a = 13

`a=13/65=1/5=5^(-1)=5^x`

x = -1

`(-10)*(-1)-2b = 6`

b = 2 = `2^1` = `2^y`

y = 1

Ja, ellenőrzés is kell, nem mintha nagy fejtörést okozna visszahelyettesíteni a megoldást.

I.

`-2*5^(-1+1)+2^(1+1)=-6`

`-2*1-2^2` = -6

-6 = -6

II.

`3*5^(-1+2)+2^(1+1)=19`

`3*5+2^2=19`

19 = 19

Ha 2 kitevője y-1, akkor y = 3.

Így az izgalmas, tudsz valami féligazságot, találd ki a teljeset és oldd meg.