Logaritmus

Az első feladatcsoport mindegyike a logaritmus egyik elnyelési tulajdonságához
köthető. Ezekből az egyik: `a,b >0` és `a ne 1` esetén `a^(log_a b)=b`.
Míg a másik: `a,b >0` és `a ne 1` esetén `log_a a^b=b`.
Persze tudni kell használni a hatványokra és a logaritmikus
kifejezésekre vonatkozó azonosságokat is.

a.) `10^(2*lg 3+1)=10^(lg 9+1)=10*10^(lg 9)=10*9=90`;
b.) `5^(frac{1}{2}*log_5 49-1)=5^(log_5 sqrt(49)-1)=frac{7}{5}`;
c.) `root(3) (6^(log_6 8))=root(3) 8=2`;
d.) `3^(log_3 6)+9^(log_3 2)-3^(log_9 16)=6+3^(2*(log_3 2))-3^(2*log_9 4)=`
`=6+3^(log_3 4)-9^(log_9 4)=6+4-4=6`;
e.) `6^(log_6 8+log_sqrt(6) 3+log_(36) 25)=6^(log_6 8)*6^(2*log_6 3)*6^(frac{1}{2}*log_6 25)=`
`=8*9*5=360`.

A másik feladatcsoport nem kapcsolható a logaritmus azonosságaihoz, csak
a gyökökre és hatványokra vonatkozó azonosságokat kell tudni alkalmazni.


1/a.) `sqrt(root(3) 6)*root(4) sqrt(10)=6^(frac{1}{3}*frac{1}{2})*10^(frac{1}{2}*frac{1}{4})=`
`=2^frac{1}{6}*3^frac{1}{6}*2^frac{1}{8}*5^frac{1}{8}=2^frac{4+3}{24}*3^frac{1}{6}*5^frac{1}{8}=root(24)(2^7)*root(6) 3*root(8) 5`;

1/b.) `sqrt(root(4) frac{1}{2})*root(5) sqrt(2^3)=2^(-frac{1}{4*2})*2^(frac{3}{2*5})=2^(frac{3}{10}-frac{1}{8})=2^frac{12-5}{40}=root(40) (2^7)`;

1/c.) `sqrt(root(5) frac{1}{3})^5*root(4) sqrt(3^3)=3^(-frac{5}{5*2})*3^(frac{3}{2*4})=3^(frac{3}{8}-frac{1}{2})=3^frac{3-4}{8}=root(8) (3^(-1))=frac{1}{3}root(8)(3^7)`;

2/a.) `frac{root(4)2*root(5)2*root(3)4}{sqrt(frac{1}{8})}=2^(frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{2}{3}-frac{-3}{2})=2^(frac{15+12+20+30}{60}=root(60)(2^77)`;

2/b.) `root(4)(3sqrt(3))=root(4)3*root(8)3=3^(frac{1}{4}+frac{1}{8})=3^frac{3}{8}=root(8)27`;

2/c.) `root(3)(5*root(5)(125*root(4)5))=root(3)5*root(5*3)(5^3)*root(60)(5)=5^(frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{60})=5^frac{20+12+1}{60}=root(60)(5^33)`;

2/d.) `root(3)(frac{2}{3}*sqrt(frac{3}{2}*root(3)6))=(frac{3}{2})^(frac{1}{6}-frac{1}{3})*6^frac{1}{18}=`
`=(frac{3}{2})^(-frac{1}{6})*6^frac{1}{18}=(frac{3}{2})^(-frac{3}{18})*6^frac{1}{18}=root(18)((frac{2}{3})^3*2*3)=root(18)(frac{2^4}{3^2})=root(9)(frac{4}{3})`;

2/e.) `sqrt(a^3*sqrt(a*root(4)(a^2)))=a^(frac{3}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8})=a^frac{12+2+1}{8}=root(8)(a^15)` és `a>0`.