II. A kör részei
Összefoglaljuk azokat az ismereteket, amelyeket tavaly tanultunk a kör és részeivel kapcso
latban:
•
középponti szögnek nevezzük a kör két sugara által bezárt szöget;
•
a kör kerülete K = 2rn , területe T = r’;
• körben a körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó kö
zépponti szöggel;
â (radiánban mért szög) középponti szöghöz r sugarú körben a körív hosszát és a
körcikk területét a következő képletek fejezik ki:
a körív hossza i=r.a, a körcikk területe T ==
2
• az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra;
• külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő;
Thalész-tétel: ha egy kör átmérőjének két végpontját össze kötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor abban a pont ban derékszög keletkezik;
•
Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja.
A körrel kapcsolatos elnevezések, számítások:
körgyűrű
körgyűrűcikk
körszelet
körcikk,
i = r.a
háromszög
körszelet
i-
a
I-
a
Tkorszelet = Tkörcikk - Tháromszög
Teorgyira =(R3-RIT
Mintapéldas
Határozzuk meg az ábrán látható körcikk körívének hosszát és területét! +
A kör sugara 5 cm.
Megoldás:
Sokszor egyszerűbb a konkrét szögek helyett aránnyal számolni. Itt a körcikkhez tartozó középponti szög a teljes szög --ad része. Mivel az ívhossz és a körcikk területe a kö
8
zéppontnál levő szöggel egyenesen arányos, a körív hossza a kör kerületének --ad ré
sze, a körcikk területe pedig a kör területének
--ad része. Így a körív hossza:
2rn
2.5.
yo? 1
<
=
3,93; i = 3,93 cm. A körcikk területe:
=
25.
-=9,82 ; T =9,82 cm?.
8
Mintapélda:
Egy pizzériában 3-féle pizza kapható: családi (41 cm átmérőjű, 1500 petak), nagy (32 cm át mérőjü, 1100 peták) és szelet (a nagy nyolcada, 190 petak).
a) Keressünk olyan mennyiséget, amelyből kiderül, hogy melyik pizzát éri meg megven
ni a legjobban (mennyiségtől függetlenül)! b) Egy 33 fős rendezvényre nagy tételben rendeltünk. Ekkor a pizzéria 7 %-ot engedett a
családi, 11%-ot a nagy és 20%-ot a szelet árából. Hogyan vásároljunk, ha a lehető leg kevesebbet akarjuk költeni, és a következőket tudjuk: egy ember a kis szeletből 5 da
rabot eszik meg, a nagy pizzából 3 ember fogyaszt el kettőt, a családiból pedig 5 em
bernek 2 pizza is elég. Mennyibe fog kerülni a pizza összesen? Megoldás:
a) A szelet 1,89 Ft/cm2, a nagy 1,37 Ft/cm2, a családi 1,14 Ft/cm2, így látható, hogy a
családi éri meg jobban. b) A csökkentés után az árak: 1,51 Ft/cm2, 1,22 Ft/cm2 és 1,06 Ft/cm2. Az egy főre eső
pénz a szeletből 190.0,8-5= 760 (peták), a nagyból . 1100-0,89 = 653 (peták), a
a sz
családiból - . 1500 -0,93 = 558 (peták). Az első 30 embernek 12 családit kell venni,
a fennmaradó 3 főnek 2 nagyot. Összesen 12 - 1500-0,93 + 2.1100-0,89 = 18698,
vagyis az eredmény 18698 peták.
8. Mennyit kell repülni, hogy Budapestről az egyenlítőig jussunk, az egyenlítőre merőle
ges úton? Budapest az északi szélesség 47°28'56"-án található, a Föld sugara 6378 km.
9. Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amely a kör területének 70%-át
befedi?
10. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!
12,6 cm
118 cm
r e
10 cm 120 mm
15,1 cm
0,3 m
3,88 m
21,6 cm