Kamatszámitás

43) Hogy ne kelljen olyan sokszor leírni a 200000-et, P-vel jelölöm ezt az évente betett pénzt.
4,5%-os kamat azt jelenti, hogy a januári összeg 1,045-szöröse lesz a kamatos összeg.

Első év végén (dec 31) lesz P·1,045. Másnap befizetnek P-t, tehát P·1,04+P.
2. év végén (P·1,045+P)·1,045, másnap (P·1,045+P)·1,045+P
3. év végén ((P·1,045+P)·1,045+P)·1,045, másnap ((P·1,045+P)·1,045+P)·1,045+P
... stb, próbáljuk máshogy írni.
Újra: 3. év végén P·1,045³ + P·1,045² + P·1,045 = P·(1,045³ + 1,045² + 1,045)
14. év végén P·(1,045¹⁴ + 1,045¹³ + ... + 1,045)
Másnap (jan. 1) lesz 14 éves a gyerek, ekkor utoljára még befizetnek P-t:
Q = P·(1,045¹⁴ + 1,045¹³ + ... + 1,045) + P
Utána 1. év végén Q·1,045
2. év végén Q·1,045²
...
6. év végén Q·1,045⁶
Ekkor veszik fel a pénzt.

Mennyi Q?
Q = P·(1,045¹⁴ + 1,045¹³ + ... + 1,045 + 1)
A zárójelben egy mértani sorozat összege van, a₁=1, q=1,045, a sorozat első 15 tagja van összeadva.
S₁₅ = a₁·(q¹⁵-1)/(q-1)
= (1,045¹⁵ - 1)/0,045 = 20,784
Tehát Q = 200 000 · 20,784 = 4 156 800

A 6. év végén pedig: Q · 1,045⁶ = ... ezt már számold ki te...

----
Nem teljesen egyértelmű, hogy a gyerek 14 éves korában fizetnek-e be még egyszer P-t, vagy akkor már nem. Én úgy számoltam, hogy fizetnek. Ha te fordítva gondolod, számold át úgy, az is hasonlóan megy.

44)
P = 250 000
1 év múlva lesz P·1,05
x év múlva lesz P·1,05x

250 000 · 1,05x ≥ 400 000
1,05x ≥ 400 000 / 250 000 = 1,6
vegyünk logarimust mindkét oldalból:
x · lg 1,05 ≥ lg 1,6
x · 0,02119 ≥ 0,2041
x ≥ 0,2041 / 0,02119 = 9,63

Vagyis 9 év múlva még nem lesz több, de 10 év múlva már több lesz.
2010 január elején.

45)
P = 1 700 000

Nem teljesen tiszta, hogy a Fitying bank esetén minden évben új lekötésnek számít-e a betét, vagyis újra szétosztják-e, hogy az aktuális összegből az 1 millió feletti kamatozik-e 6,3%-kal. Szerintem igen. Úgy a bonyolultabb számolni, de úgy jön ki a végén nagyobb összeg.

Számoljuk viszont először a Peták bankot:
Évente 4-szer csinál kamatos kamat számolást, vagyis 5 év alatt 20-szor. Így 5 év múlva az összeg ennyi lesz:
P · 1,019²⁰ = P · 1,457

A Fitying bank pontos kiszámolásához még mindig nincs nagyon kedvem, számoljunk jóval egyszerűbben: becsüljük felül, csináljuk úgy, mintha a teljes összegre 6,3%-os kamatot adna. Ezzel jóval több jön ki, de utána majd meglátjuk, kell-e pontosabban számolni.
5 év múlva így P · 1,063⁵ lenne, ami P · 1,357

Tuti, hogy a Peták bankot érdemesebb választani, mert így, hogy a Fityinget jól felülbecsültük, még így is többet fizet a Peták.

Nincs is értelme pontosan kiszámolni a Fityingét. Azt viszont írd bele a háziba, hogy ez felülbecslés volt!!